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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:07 Do 05.03.2009 | | Autor: | deny-m |
| Aufgabe | [mm] \left| z \right|^2 [/mm] = [mm] \left| 1-z \right|^2
[/mm]
hat unendliche viele Lösungen.
Wahr oder falsch?
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Mein Rechenweg:
[mm]\left| z \right|^2 = \left| 1-z \right|^2 = \left| 1-2z+z^2 \right|[/mm]
[mm] \Rightarrow z=\bruch{1}{2}
[/mm]
ich definiere z=a+ib
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{2}=(a+ib) [/mm] |( [mm] )^2
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{4}=a^2+iab-b^2 [/mm] |( [mm] )^2
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{16a^2b^2}-\bruch{a^2}{b^2}+\bruch{b^2}{a^2}+1=0
[/mm]
Und hier kann man sehen, dass es unedlcih viele Lösungen gibt!
Kann man das so beweisen! Oder gibt es einen viel einfacheren Weg?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo deny-m,
> [mm]\left| z \right|^2[/mm] = [mm]\left| 1-z \right|^2[/mm]
>
> hat unendliche viele Lösungen.
>
> Wahr oder falsch?
>
> Mein Rechenweg:
>
> [mm]\left| z \right|^2 = \left| 1-z \right|^2 = \left| 1-2z+z^2 \right|[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow z=\bruch{1}{2}[/mm]
Wieso folgt das?
>
> ich definiere z=a+ib
Das mache mal als allererstes, also bevor du mit den Quadraten rumhampelst, dann sortiere nach Real- und Imaginärteil und löse die Beträge auf:
$z=a+bi$
[mm] $|z|^2=\sqrt{a^2+b^2}^2=\blue{a^2+b^2}$
[/mm]
[mm] $|1-z|^2=|(1-a)+(-b)i|^2=\sqrt{(1-a)^2+(-b)^2}^2=\blue{(1-a)^2+b^2}$
[/mm]
Damit mal weiter ...
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{1}{2}=(a+ib)[/mm]
Hieraus würde wegen der EIndeutigkeit von Real- und Imaginärteil [mm] folgen:$a=\frac{1}{2}\wedge [/mm] b=0$, also eine eind. Lösung
> |( [mm])^2[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{1}{4}=a^2+iab-b^2[/mm] |( [mm])^2[/mm]
> [mm]\Rightarrow \bruch{1}{16a^2b^2}-\bruch{a^2}{b^2}+\bruch{b^2}{a^2}+1=0[/mm]
>
> Und hier kann man sehen, dass es unedlcih viele Lösungen
> gibt!
Aha, woran denn geanu?
>
>
> Kann man das so beweisen! Oder gibt es einen viel
> einfacheren Weg?
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:40 Do 05.03.2009 | | Autor: | deny-m |
Oh man , wieso muss ich immer so kompliziert rechnen udn denken :D!
Also dann so:
[mm] a^2+b^2=(1-a)^2+b^2
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{2}=ab
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] hat unendliche viele Lösungen
Stimmt das dann so??
Danke du Genie! :D
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> Oh man , wieso muss ich immer so kompliziert rechnen udn
> denken :D!
>
> Also dann so:
>
> [mm]a^2+b^2=(1-a)^2+b^2[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{1}{2}=ab[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] hat unendliche viele Lösungen
>
> Stimmt das dann so??
Jup, sieht gut aus!
Somit erfüllen also alle komplexe Zahlen der Form [mm] $z=t+i\frac{1}{2t}, [/mm] \ \ [mm] t\in\IR$ [/mm] die Gleichung.
LG Patrick
>
> Danke du Genie! :D
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Hallo zusammen,
> > Oh man , wieso muss ich immer so kompliziert rechnen udn
> > denken :D!
> >
> > Also dann so:
> >
> > [mm]a^2+b^2=(1-a)^2+b^2[/mm]
> >
> > [mm]\Rightarrow \bruch{1}{2}=ab[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
was ist denn hier los?
woher kommt das ab angeflogen? Ich sehe weit und breit keine gemischten Terme!
> >
> > [mm]\Rightarrow[/mm] hat unendliche viele Lösungen
> >
> > Stimmt das dann so??
>
> Jup, sieht gut aus!
Nein, sieht's nicht!
> Somit erfüllen also alle komplexe Zahlen der Form
> [mm]z=t+i\frac{1}{2t}, \ \ t\in\IR[/mm] die Gleichung.
Nein! Viel einfacher!
>
> LG Patrick
>
> >
> > Danke du Genie! :D
LG
schachuzipus
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 22:00 Do 05.03.2009 | | Autor: | XPatrickX |
Du hast natürlich Recht schachuzipus.
Danke, liebe Grüße Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:26 Fr 06.03.2009 | | Autor: | deny-m |
> Hallo deny-m,
>
> > [mm]\left| z \right|^2[/mm] = [mm]\left| 1-z \right|^2[/mm]
> >
> > hat unendliche viele Lösungen.
> >
> > Wahr oder falsch?
> >
> > Mein Rechenweg:
> >
> > [mm]\left| z \right|^2 = \left| 1-z \right|^2 = \left| 1-2z+z^2 \right|[/mm]
>
> >
> > [mm]\Rightarrow z=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Wieso folgt das?
>
> >
> > ich definiere z=a+ib
>
> Das mache mal als allererstes, also bevor du mit den
> Quadraten rumhampelst, dann sortiere nach Real- und
> Imaginärteil und löse die Beträge auf:
>
> [mm]z=a+bi[/mm]
>
> [mm]|z|^2=\sqrt{a^2+b^2}^2=\blue{a^2+b^2}[/mm]
>
> [mm]|1-z|^2=|(1-a)+(-b)i|^2=\sqrt{(1-a)^2+(-b)^2}^2=\blue{(1-a)^2+b^2}[/mm]
>
> Damit mal weiter ...
>
> >
> > [mm]\Rightarrow \bruch{1}{2}=(a+ib)[/mm]
Also das stimmt also auch nicht!!!
Man kommt dadrauf:
[mm] a=\bruch{1}{2} [/mm]
Und das bedeutet also, dass es unendliche viele Lösungen für z gibt???!
>
> Hieraus würde wegen der EIndeutigkeit von Real- und
> Imaginärteil folgen:[mm]a=\frac{1}{2}\wedge b=0[/mm], also eine
> eind. Lösung
>
> > |( [mm])^2[/mm]
> >
> > [mm]\Rightarrow \bruch{1}{4}=a^2+iab-b^2[/mm] |( [mm])^2[/mm]
> > [mm]\Rightarrow \bruch{1}{16a^2b^2}-\bruch{a^2}{b^2}+\bruch{b^2}{a^2}+1=0[/mm]
>
> >
> > Und hier kann man sehen, dass es unedlcih viele Lösungen
> > gibt!
>
> Aha, woran denn geanu?
>
> >
> >
> > Kann man das so beweisen! Oder gibt es einen viel
> > einfacheren Weg?
> >
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
>
>
> LG
>
> schachuzipus
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Hallo nochmal,
verwende den Zitieren-Button doch bitte etwas mit Bedacht, sonst ist's gar zu unübersichtlich!
> > > ich definiere z=a+ib
> >
> > Das mache mal als allererstes, also bevor du mit den
> > Quadraten rumhampelst, dann sortiere nach Real- und
> > Imaginärteil und löse die Beträge auf:
> >
> > [mm]z=a+bi[/mm]
> >
> > [mm]|z|^2=\sqrt{a^2+b^2}^2=\blue{a^2+b^2}[/mm]
> >
> >
> [mm]|1-z|^2=|(1-a)+(-b)i|^2=\sqrt{(1-a)^2+(-b)^2}^2=\blue{(1-a)^2+b^2}[/mm]
> >
> > Damit mal weiter ...
> >
> > >
> > > [mm]\Rightarrow \bruch{1}{2}=(a+ib)[/mm]
> Also das stimmt also auch nicht!!!
Ja, denn dort wäre [mm] $a=\frac{1}{2}$ [/mm] und $b=0$ die einzige und eindeutige Lösung
> Man kommt dadrauf:
>
> [mm]a=\bruch{1}{2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
eben, wie in der anderen Antwort bereits steht
>
> Und das bedeutet also, dass es unendliche viele Lösungen
> für z gibt???!
> >
Ja klar, es kommt doch unabhängig vom Imaginärteil b stets [mm] $a=Re(z)=\frac{1}{2}$ [/mm] heraus, also sind alle z mit [mm] $z=\frac{1}{2}+b\cdot{}i, b\in\IR$ [/mm] beliebig, Lösung der Gleichung
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:43 Fr 06.03.2009 | | Autor: | fred97 |
$ [mm] \left| z \right|^2 [/mm] $ = $ [mm] \left| 1-z \right|^2 [/mm] $ [mm] \gdw $z\overline{z} [/mm] = [mm] (1-z)(1-\overline{z}) [/mm] = [mm] 1-z-\overline{z}+z\overline{z}$ \gdw $z+\overline{z} [/mm] = 1$ [mm] \gdw [/mm] $Re(z) = 1/2$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:04 Fr 06.03.2009 | | Autor: | deny-m |
> [mm]\left| z \right|^2[/mm] = [mm]\left| 1-z \right|^2[/mm] [mm]\gdw[/mm]
> [mm]z\overline{z} = (1-z)(1-\overline{z}) = 1-z-\overline{z}+z\overline{z}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] [mm]z+\overline{z} = 1[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]Re(z) = 1/2[/mm]
>
danke! Das würde also bedeuten, dass die Gleichung aber endliche viele Lösungen hat?! In meiner Musterlösung ist die aufgabe als "wahr" bewertet! Also es hat unendlich viele Lösungen! Jetzt bin ich verwirrt! :D
> FRED
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Hallo deny!
Aber es gibt doch unendlich viele komplexe Zahlen, welche die Bedingung $Re(z) \ = \ [mm] \bruch{1}{2}$ [/mm] erfüllen:
$$Re(z) \ = \ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] \ \ [mm] \gdw [/mm] \ \ z \ = \ [mm] \bruch{1}{2}+i*y$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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> [mm]\left| z \right|^2[/mm] = [mm]\left| 1-z \right|^2[/mm]
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> hat unendliche viele Lösungen.
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> Wahr oder falsch?
Auf die Exponenten links und rechts kann man verzichten.
Lösungspunkte in der Gaußschen Ebene sind dann diejenigen z,
welche von den Punkten [mm] z_0=0 [/mm] und [mm] z_1=1 [/mm] gleich weit entfernt
sind. Dies sind alle (also unendlich viele !) Punkte der
Mittelsenkrechten der Strecke [mm] \overline{z_0z_1}\,, [/mm] mit anderen Worten der
Geraden m: [mm] Re(z)=\bruch{1}{2}. [/mm]
LG Al-Chwarizmi
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