Komplexe Zahl in e^-Form < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | a)Ermitteln Sie [mm] z_3 [/mm] und tragen Sie es in die GZE ein!
b)Stellen Sie [mm] z_3 [/mm] in der Eulerschen Form da!
Kein Taschenrechner erlaubt! |
Gegeben:
[mm] z_1=3\*(\cos(240°)+i\*\sin(240°))
[/mm]
[mm] z_2=2\*(\cos(135°)+i\*\sin(135°))
[/mm]
Gesucht:
[mm] z_3=-3\*z_1 [/mm] + [mm] 2\*i\*z_2
[/mm]
Mein Lösungsweg:
[mm] z_3=-9\*(\cos(240°)+i\*\sin(240°))+i\*4\*(\cos(135°)+i\*\sin(135°))
[/mm]
[mm] z_3=-9\*(\cos(240°)+i\*\sin(240°))+*4\*(i\*\cos(135°)-1\*\sin(135°))
[/mm]
[mm] z_3=-9\*(-\bruch{1}{2}+i\*(-\bruch{1}{2}\wurzel{3}))+*4\*(i\*(-\bruch{1}{2}\wurzel{2})-\bruch{1}{2}\wurzel{2})
[/mm]
Nun erstmal Ordnung reinbringen:
[mm] z_3=-9\*(-\bruch{1}{2}+i\*(-\bruch{1}{2}\wurzel{3}))+*4\*(-\bruch{1}{2}\wurzel{2}-i\*(-\bruch{1}{2}\wurzel{2}))
[/mm]
Ausmultipliziert:
[mm] z_3=(\bruch{9}{2}+\bruch{9}{2}\wurzel{3}i)+(-\bruch{4}{2}\wurzel{2}-\bruch{4}{2}\wurzel{2}i)
[/mm]
[mm] z_3=\bruch{9-4\wurzel{2}}{2}+i\*(\bruch{9}{2}\wurzel{3}-\bruch{4}{2}\wurzel{3})
[/mm]
Soweit so gut, ich habe das Ergebnis mittels Taschenrechner prüfen können und es stimmt.
Nun die Frage darf ich in der trigonomischen Form anstatt z.B. cos(240) einfach [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] schreiben um ein Ergebnis herauszubekommen? Es ist ja die Umwandlung in die kartesische Form und daher erlaubt oder sehe ich es falsch? 
Und wie stelle ich das Ergebnis ohne Taschenrechner in der GZE dar? Gibt es dort Vereinfachungen?
Ach ja, und wie wandle ich nun das Ergebnis von [mm] z_3 [/mm] in die Eulersche Form um?
[mm] z=r\*(\cos\alpha+i\*\sin\alpha)=r\*e^{i\alpha} [/mm] ist bekannt aber wie wird es hier angewendet?
Vielen Dank im Voraus!
Ich habe die Frage in keinem anderem Forum gestellt.
Dank und Gruß, Marty
|
|
| |
|
Hallo,
im Grunde ganz einfach:
Du weisst: $cos$ ist der Realteil, $sin$, der Imaginärteil, also [mm] $cos(it)=Re(e^{it})$ [/mm] und [mm] $sin(it)=Im(e^{it})$
[/mm]
Das liest Du einfach aus der Darstellung von [mm] $z_3$. [/mm] Damit kannst Du [mm] $\alpha$ [/mm] berechnen und brauchst das dann nur noch einzusetzen.
> Ach ja, und wie wandle ich nun das Ergebnis von [mm]z_3[/mm] in die
> Eulersche Form um?
> [mm]z=r\*(\cos\alpha+i\*\sin\alpha)=r\*e^{i\alpha}[/mm] ist bekannt
> aber wie wird es hier angewendet?
Grüße ....
|
|
|
|
