Komplexe Zahl potenziert < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:09 Mi 14.01.2009 | | Autor: | sage |
| Aufgabe | ( - [mm] 1/\wurzel{2} [/mm] + [mm] 1/\wurzel{2} [/mm] j [mm] )^{100}
[/mm]
Gesucht sind alle Lösungen der Gleichung |
hallo,
wie wird eine kompl Zahl potentiert? Bin Formel?
Ich habe leider keine Ahnung wie ich an die ob gegebene Aufgabenstellung rangehen soll!
mfg
sage
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Hallo sage,
Es gilt die Eulersche Relation für eine komplexe Zahl [mm]z=\left|z\right|e^{j\phi}[/mm]. Und ferner gilt: [mm]e^{j\phi} = \cos\phi + j\sin\phi[/mm]. Also ist: [mm]z^n = \left|z\right|^ne^{jn\phi}=\left|z\right|^n(\cos(n\phi) + j\sin(n\phi))[/mm]. Das wendet man hier an:
[mm]\left|z\right|^{100} = \sqrt{\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}}=1\Rightarrow z^{100} = \cos(100\phi) + j\sin(100\phi)[/mm]
Wegen [mm]\tan\phi = \tfrac{1/\sqrt{2}}{-1/\sqrt{2}}=-1[/mm] muß man solche [mm]\phi[/mm] finden für die [mm]-\sin\phi=\cos\phi[/mm] gilt.
Tipp: [mm]\sin(-x)=-\sin(x);\ \cos(-x)=\cos x[/mm]. Und außerdem ist [mm]\sin\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\cos\left(\tfrac{\pi}{4}\right)[/mm].
Versuche damit zu einer Lösungsmenge für [mm]\phi[/mm] zu gelangen, denn [mm]\tan x[/mm] ist eine periodische Funktion.
Viele Grüße
Karl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:18 Do 15.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Sei z = (- $ [mm] 1/\wurzel{2} [/mm] $ + $ [mm] 1/\wurzel{2} [/mm] $ j $ ) $ = [mm] -\bruch{1}{\wurzel{2}}(1-j)
[/mm]
ES ist [mm] $(1-j)^2 [/mm] = -2j$,
also [mm] $z^2 [/mm] = [mm] 1/2(1-j)^2 [/mm] = -j$, somit
[mm] $z^{100} [/mm] = [mm] (z^2)^{50} [/mm] = [mm] (-j)^{50} [/mm] = [mm] j^{50 } [/mm] = [mm] (j^2)^{25} [/mm] = [mm] (-1)^{25} [/mm] = -1$
FRED
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