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| Aufgabe | Berechnen sie :
(2+i)/(3+4i)
Bestimmen sie den Real und Imaginärteil von z = 1+ e^(i*k ) k ist ungleich [mm] \pi [/mm] w = z^-1
c) Geben sie alle Lösungen der Gleichung [mm] z^6 [/mm] = 1 an |
So dann fange ich mal an:
a ) 2+i/3+4i * 3-4i/3-4i = [mm] 6-8i+3i-4i^2 [/mm] / [mm] 9-12i+12i-16i^2 i^2 [/mm] = -1
= 6-5i+4 / 9 + 16 = 10 - 5i / 25 = 2/5 - 1/5 i
b )
z = 1 + e^(i * k) w = z^-1
z^-1 = -1 + e^(-i * k )
= -1 + (cos(-k) - i * sin(-k)
Re(z) = -1 + cos(-k)
Im (z) = i*sin(k)
c )
[mm] z^6 [/mm] = 1
Ich verstehe die Aufgabe nicht wirklich um ehrlich zu sein, was ich aber schon sagen kann das zwei der 6 Lösungen
z1 = 1 z2= -1 ist weil man ja [mm] \wurzel[6]{1} [/mm] = 1 und - [mm] \wurzel[6]{1}=-1
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:56 Mi 26.03.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo Phencyclidine!
Bei Aufgabe c.) drängt sich förmlich die Anwendung der  Moivre-Formel auf.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:10 Mi 26.03.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo Phencyclidine!
> z = 1 + e^(i * k) w = z^-1
>
> z^-1 = -1 + e^(-i * k )
>
> = -1 + (cos(-k) - i * sin(-k)
>
> Re(z) = -1 + cos(-k)
> Im (z) = i*sin(k)
Was Du hier machst, erschließt sich mir überhaupt nicht.
Ich befürchte, dass Du beim Kehrwert auch (ansatzweise) die Kehrwerte der beiden Summanden einzeln gebildet hast. ![[eek]](/images/smileys/eek.gif "[eek]")
Und am Ende kann der Imaginärteil auch nur eine reelle Zahl sein (also ohne imaginäre Einheit [mm]i_[/mm] ).
Beginne wie folgt:
[mm]z^{-1} \ = \ \bruch{1}{z} \ = \ \bruch{1}{1+ \ \blue{e^{i*k}}}[/mm]
[mm]= \ \bruch{1}{1+ \ \blue{\cos(k)+i*\sin(k)}[/mm]
Erweitere diesen Bruch nun mit [mm]\left[ \ (1+\cos(k)) \ \red{-} \ i*\sin(k) \ \right][/mm] , um den Nenner reell zu machen.
Gruß
Loddar
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
