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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:09 Mi 28.06.2006 | | Autor: | droller |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil von z=( [mm] \bruch{1}{2}* \wurzel{2} [/mm] + j [mm] \bruch{1}{2}* \wurzel{2})^{1000 } [/mm] |
Hey Leute, ich hab ein kleineres Problem mit einer komplexen Zahl.
Ist mein Lösung der Aufgabe richtig?
Realteil: ( [mm] \bruch{1}{2}*\wurzel{2} [/mm] )^1000
Imaginärteil: j ( [mm] \bruch{1}{2}*\wurzel{2} [/mm] )^1000
Ich glaub nicht, dass das richtig ist und dass man das so einfach machen darf.
Eine andere Idee von mir war irgendwie den Betrag der komplexen Zahl zu errechnen. Hab ich aber irgendwie nicht geschaft.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:44 Mi 28.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo droller
Deine Lösung ist sehr falsch! kannst du schon mit [mm] (a+ib)^{2} [/mm] ausprobieren!
Das mit dem Betrag ist schon mal gut. [mm] |z|=\wurzel{a^2+b^2} [/mm] wenn z=a+j*b
Dann schreib z um als [mm] z=|z|*e^{i*\phi} [/mm] und bild dann die Potenz. [mm] \phi [/mm] ist der Winkel zur reellen Achse, den du ablesen kannst, wenn du z einzeichnest.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 Mi 28.06.2006 | | Autor: | droller |
O.K. aber ich komm mit der Antwort auch nicht wirklich auf die Lösung. Die Lösung ist auch wahrscheinlich nicht so umfangreich, den die Aufgabe gab in einer Alt Klausur nur wenig Punkte. Hab aber leider keine Lösung dazu. Deswegen hab ich die Aufgabe hier eingestellt. Kann mir jemand die Lösung mit Lösungsansatz geben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:22 Mi 28.06.2006 | | Autor: | FrankM |
Hallo,
die komplette Lösung gebe ich auch noch nicht an, aber ich hoffe soweit, dass du den Rest alleine kannst. Zuerst musst den Betrag von [mm] (\bruch{1}{\sqrt{2}}+i\bruch{1}{\sqrt{2}}, [/mm] das ist [mm] \sqrt{0,5+0,5}=1. [/mm] Jetzt musst du noch die Phase der komplexen Zahl bestimme, es gilt [mm] tan(\phi)=\bruch{Imaginärteil}{Realteil} [/mm] also hier [mm] \phi=\bruch{\pi}{4}. [/mm] Das Ergebnis ist also:
[mm] 1\cdot e^{i*\bruch{\pi}{4}*1000}=e^{i*250} [/mm] Davon musst du jetzt noch Real- und Imaginärteil bestimmen, beachte dabei das [mm] e^{i\cdot x} 2-\pi-periodisch [/mm] ist.
Gruß
Frank
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:59 Mi 28.06.2006 | | Autor: | droller |
Dann ist der Realteil: 1
Und der Imaginärteil 250j
Stimmt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 Mi 28.06.2006 | | Autor: | FrankM |
> Dann ist der Realteil: 1
> Und der Imaginärteil 250j
> Stimmt das?
Nein, schau mal, was du unter dem Stickwort Eulerformel zu [mm] e^{ix} [/mm] findest.
Gruß
Frank
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:14 Mi 28.06.2006 | | Autor: | droller |
Ich hab [mm] e^{j \gamma} [/mm] = Cos ( [mm] \gamma) [/mm] + j Sin( [mm] \gamma) [/mm] gefunden.
Dann ist der Realteil: Cos (250* [mm] \pi) [/mm] also 1
und der Imaginärteil: Sin (250* [mm] \pi) [/mm] also 0
Ist das so jetzt richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:08 Do 29.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo droller
Richtig!
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:35 Mi 28.06.2006 | | Autor: | Auric |
Hallo,
Form sie einfach ine die Polarform um also
z = |z| (cos(n* [mm] \gamma)+j*sin(n* \gamma))
[/mm]
|z|= [mm] \wurzel{(\bruch{1}{2} * \wurzel{2})^{2}+(\bruch{1}{2} * \wurzel{2})^{2}}
[/mm]
n ist dabei die Potenz. Den Winkel [mm] \gamma [/mm] bekommst du durch
tan [mm] \gamma [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{1}{2} * \wurzel{2}}{\bruch{1}{2} * \wurzel{2}} [/mm]
Um wieder in die algebraishce Normalform zu kommen multiplizierst du einfach
|z| mit cos(...) für den realteil und |z| mit sin(...) für den imaginärteil.
Also kommst du auf
1 für den real teil und auf 0 für den imaginärteil
Also z = 1
Du kannst das ganze auch mit |z|* [mm] e^{j*n* \gamma} [/mm] machen, aber um auf die Normalform zu kommen musst du auf jeden fall in die Polarform umwandeln also wäre es ja mehr arbeit.
MFG Auric
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:50 Mi 28.06.2006 | | Autor: | droller |
Dann ist meine obige Lösung also richtig, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:33 Do 29.06.2006 | | Autor: | Auric |
Ja. leduart hat das ja schon bestätigt.
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