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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Komplexe Zahlen
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Komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:09 So 03.10.2004
Autor: jago

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Ich hab da ein kleines Problem und hoffe mir kann, durch euch, geholfen werden.
Wie kommt man von sqrt(-8*j) zu 2*sqrt(-2j) und dann landet mein Prof. auf 2*(1-j). Ich kann leider bei keinem dieser Schritte verstehen was er da für Regeln anwendet. Könnt ihr mir bei der Frage aus der Patsche helfen?
thx im vorraus

        
Bezug
Komplexe Zahlen: Antwort (fehlerhaft)
Status: (Antwort) fehlerhaft Status 
Datum: 00:31 So 03.10.2004
Autor: KaiAhnung

Hallo.

>  Wie kommt man von sqrt(-8*j) zu 2*sqrt(-2j) und dann
> landet mein Prof. auf 2*(1-j).

Ich nehme an, dass j eine imaginäre Einheit ist, für die [mm]j^2 = -1[/mm] gilt, liege ich da richtig?

[mm]\sqrt{-8j} = \sqrt{4*(-2)j} = \sqrt{4}*\sqrt{-2j} = 2*\sqrt{-2j}[/mm]
Das wäre der erste Schritt.
Der 2te Schritt lässt sich folgendermaßen prüfen: [mm](1-j)^2 = 1^2-2j+j^2 = 1-2j-1 = -2j[/mm]
[mm]\Rightarrow (1-j)=\sqrt{-2j}[/mm]

Ich hoffe ich konnte dir helfen.

MfG
Jan

Bezug
                
Bezug
Komplexe Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:16 So 03.10.2004
Autor: jago

Ja, ist richtig, j ist das gleiche wie i, nur das die Techniker i nicht nutzen, weil das eigentlich ein Wechselstromausdruck ist. Daher nutzen Techniker das j und überlassen das i den Mathematikern ;-)
Hat übrigens sehr geholfen, auf so eine logische Idee bin ich nicht gekommen, hab voll in die falsche Richtung gesucht :-(
überglückliches thx
jago

Bezug
        
Bezug
Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:49 So 03.10.2004
Autor: Stefan

Hallo jago!

Jans Antwort ist nicht ganz korrekt, auch wenn sie die Behauptung scheinbar beweist.

Jans Argumentation ist insofern falsch, weil man aus

[mm] $z_1^2 [/mm] = [mm] z_2^2$ [/mm]

nicht auf [mm] $z_1=z_2$ [/mm] schließen kann. Man kann nur sagen, dass [mm] $z_1$ [/mm] und [mm] $z_2$ [/mm] zwei komplexe Wurzeln der gleichen komplexen Zahl sind, jedoch unter nicht notwendiger gleichen Zweigen.

Es hätte mit der Argumentation genauso gut sein können, dass

[mm] $\sqrt{-2i} [/mm] = -1+i$

gilt, wenn man mit [mm] $\sqrt{}$ [/mm] den Hauptzweig der komplexen Wurzelfunktion bezeichnet (also den Zweig mit [mm] $\sqrt{1}=1$). [/mm] Dies könnte man mit Jans Argumentation genauso zeigen.

Hier ist aber klar, dass mit dem Hauptzweig [mm] $\log$ [/mm] des Logarithmus gilt:

[mm] $\sqrt{-2i} [/mm] = [mm] \sqrt{2 \cdot e^{-\frac{1}{2} \pi i}} [/mm] = [mm] e^{\frac{1}{2} \log(2 \cdot e^{-\frac{1}{2}\pi i})} =\sqrt{2} \cdot e^{-\frac{1}{4} \pi i} [/mm] = 1 - i$.

Liebe Grüße
Stefan


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