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| Aufgabe | Ermitteln Sie sämtliche Zahlen z [mm] \in\ \IC [/mm] , die den folgenden Gleichungen genügen:
a) [mm] z^4 [/mm] = -16
b) [mm] z^3 [/mm] + [mm] 3iz^2 [/mm] - 3z - 9i = 0 (Hinweis: kubische Ergänzung)
c) [mm] z^2 [/mm] - 3z + 3 - i = 0 (Hinweis: Der Ansatz [mm] (x+iy)^2 [/mm] = a+ib führt auf die nichtlinearen Gleichungen [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = [mm] \wurzel{a^2 + b^2} [/mm] und [mm] x^2 [/mm] - [mm] y^2 [/mm] = a zur Bestimmung von x und y). |
Hi!! Zunächst wünsch ich ein frohes und gesundes neues Jahr, obwohl es nen bisschen spät ist!!
Also ich hab zu allen drei Aufgaben Lösungsansätze, hänge dann aber an bestimmten Punkten, aber der Reihe nach:
a) Hier hab ich bereits 4 verschiedene Lösungen, weiß aber nun nicht, ob die so richtig sind!!
[mm] z_1 [/mm] = [mm] 2*e^{i*\bruch{\ pi}{4}}
[/mm]
[mm] z_2 [/mm] = [mm] 2*e^{i*\bruch{\pi}{2}} [/mm] = 2
[mm] z_3 [/mm] = [mm] 2*e^{i*\bruch{3*\pi}{4}}
[/mm]
[mm] z_4 [/mm] = [mm] 2*e^{i*\pi} [/mm] = -2
b) hier hab ich die Gleichung in ein Polynom umgeformt, aber da das Wurzelziehen keine äquivalente Umformungsregel ist, weiß ich hier nicht weiter:
Also ich hab hier: [mm] (z+i)^3 [/mm] = -8i
c) Hier hab das Binom zusammengefasst, aber weiß nun auch nicht mehr weiter!!
[mm] (z-1,5)^2 [/mm] = -0,75 + i
Also ich hoffe mir kann jemand bei den Aufgaben weiterhelfe und bedanke mich schonmal im Voraus!!
MfG, SusiSunny
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:22 Di 09.01.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo SusiSunny,
der Teil a) sieht doch gut aus und auch die Umformungen zu b) und c) bringen schöne Ergebnisse. Jetzt hast Du eine komplexe Unbekannte, die linear um einen bestimmten Wert in der komplexen Ebene verschoben ist. Da hilft die Substitution weiter. Betrachte die Werte in den Klammern auf der linken Seite der Gleichungen als eine neue Variable u beispielsweise, dann lassen sich die Gleichungen lösen und anschließend machst Du die Substitution wider rückgängig.
Viel Spaß dabei wünscht
Infinit
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