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| Aufgabe | | Berechne [mm] (i+1)^{4711} [/mm] in [mm] \IC [/mm] |
Ich weiß, ich vermute diese Aufgabe ist wahrscheinlich gar nicht so schwer, komme aber trotzdem nicht darauf!
kann es sein, dass man die 4711 geschickt zerlegen muss um es weiter zu vereinfachen ?
NUR WIE?
Kann mir jemand helfen !
Gruß M.
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Hallo cosmos,
wie wäre es, zuerst mal $z=(1+i)$ umzuschreiben in die trigonometrische Darstellung.
Dann kennst du bestimmt auch Hr. Moivre und seine nette Formel 
Damit ist doch [mm] $z^{4711}$ [/mm] schnell bestimmt....
LG
schachuzipus
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Der Satz von Moivre sagt ja aus:
[mm] (cos(\phi)+isin(\phi))^{n}=(cos(n\phi)+isin(n\phi))
[/mm]
Wenn ich diesen nun auf eine beliebige komplexe Zahl [mm]z[/mm] anwende bekomme ich die Formel
[mm] z^{n}=|z|^{n}\*e^{in\phi}=|z|^{n}\*(cos(n\phi)+isin(n\phi)) [/mm] !!
Wie bekomme ich jetzt aber für den Fall [mm] z^{4711} [/mm] das [mm] |z|^{n} [/mm] und das [mm] \phi [/mm] heraus ? Ist wahrscheinlich ne dumme Frage oder ? Aber ich seh es einfach nicht !
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Oh man bin ich blöd ! 
ALSO:
[mm] (1+i)^{4711]}=|\wurzel{2}|^{4711}\*(cos(4711\*\bruch{\pi}{4})+isin(4711\*\bruch{\pi}{4}))
[/mm]
Soweit so klar !
Nur kann man das noch irgendwie geschickt vereinfachen???
Ich hätte gedacht da kommt jetzt vielleicht ein einigermaßen ansehnliches Ergebnis raus !
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:23 Di 23.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
rechne mal die ersten 4 Potenzen aus, möglichst in der Form [mm] z=r*e^{\i\phi} [/mm] wenn du die kennst. sonst einfach. und dann [mm] (1+i)^8
[/mm]
Dann hast du ein Aha Erlebnis. klammer immer so aus, dass beim Realteil und Imaginärteil ne 1 steht!
Gruss leduart
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Hallo Leduart,
ich versteh nicht wie du das meinst ?
Bekommt man denn ein schönes Ergebnis raus oder geht es überhaupt nicht ??
Gruß M.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:01 Di 23.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hatte die anderen Antworten nicht gesehen.
aber ja, es geht schnell zu rechnen und vereinfacht das ganze sehr, wenn man nicht mit den sin,cos rechnen will.
Gruss leduart
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Hallo Leduart,
würde es dir etwas ausmachen mir mal deinen Rechenweg aufzuschreiben ??
Das wäre echt super, ich würde gerne mal die Alternative zu sin und cos sehen!
Danke im Voraus
Gruß M.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:58 Mi 24.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] (1+i)^4=4*(-1)
[/mm]
denn [mm] (1+i)^2=2*i
[/mm]
damit [mm] (1+i)^8=16
[/mm]
4711=4704+7=588*8+7
[mm] (1+i)^{4711}=16^{588}*(1+i)^7=2^{2352}*(-8i)*(1+i)=2^{2355}(1-i)
[/mm]
warum konntest du [mm] (1+i)^2 [/mm] usw nicht selbst ausrechnen?
die Rechnung ab 4711 nachrechnen, es ist schon spät, da mach ich bei einfachen Rechnungen immer Fehler!
Gruss leduart
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