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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:11 Mo 12.11.2007 | | Autor: | xcase |
| Aufgabe | Entscheiden Sie durch Betrachtung des Real- und Imaginärteils von [mm] (e^{ix})^{n} [/mm] , n [mm] \varepsilon [/mm] {4,6} ob die folgenden Aussagen wahr sind fuer alle x [mm] \varepsilon \IR. [/mm] Begruenden Sie ihre Entscheidung!
(i) sin(4x) = [mm] 8sin(x)cos^{3}(x) [/mm] - 4sin(x)cos(x)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. |
So hab dann mir mal n=4 rausgesucht und dabei kam das heraus:
[mm] e^{inx} [/mm] = cos(nx) + i*sin(nx)
[mm] \Rightarrow e^{4*ix} [/mm] = cos(4x) + i*sin(4x)
[mm] \Rightarrow e^{4*ix} [/mm] = cos(4x) + [mm] i*(8sin(x)cos^{3}(x) [/mm] - 4sin(x)cos(x)) (Hab den Therm aus der Aufgabenstellung eingesetzt)
[mm] \gdw [/mm] ... + [mm] i*(4cos^{2}(x)sin(2x) [/mm] - 2sin(2x))
[mm] \gdw [/mm] ... + [mm] i*(sin(2x)*(4cos^{2}(x) [/mm] - 2))
[mm] \gdw [/mm] ... + i*(2sin(2x)*cos(2x))
[mm] \gdw [/mm] ... + i*sin(4x)
Reicht das als 'Begruendung' ?
Und wie sieht es mit n=6 aus?
Dann staende da naemlich [mm] e^{6*ix} [/mm] = cos(6x) + i*sin(6x) .
Kann man denn sin(6x) irgendwie in 2 Therme teilen, sodass in den einem sin(4x) vorkommt? Dann koennte man sich das 2. ausrechnen sparen, wenn das ueberhaupt so funktioniert... .
MfG Tomi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:12 Di 13.11.2007 | | Autor: | xcase |
Hm hab mir noch einmal alles angeguckt und das muesste doch richtig sein :O
Nur weiss ich nicht wie ich das mit n=6 machen soll, wenn das ueberhaupt funktioniert.
MfG Tomi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:20 Di 13.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Tomi!
Ich glaube, du sollst Real- und Imaginärteil der beiden Seiten dieser Gleichung vergleichen:
[mm]\mathrm{e}^{4ix} = (\mathrm{e}^{ix})^4 \gdw \cos(4x) + i\sin(4x) = (\cos x + i \sin x)^4[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Di 13.11.2007 | | Autor: | aaxte |
Und wie hilft uns der Vergleich der beiden Gleichungen weiter in Bezug auf den Beweis der oben genannten Formeln?
MfG aaxte
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:38 Di 13.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Und wie hilft uns der Vergleich der beiden Gleichungen
> weiter in Bezug auf den Beweis der oben genannten Formeln?
Real- und Imaginärteil der beiden Seiten müssen unabhängig voneinander gleich sein, also
[mm]\cos(4x) = \mathop{\mathrm{Re}}[ (\cos x + i \sin x)^4][/mm]
[mm]\sin(4x) = \mathop{\mathrm{Im}}[ (\cos x + i \sin x)^4][/mm]
Viele Grüße
Rainer
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