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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Komplexe Zahlen
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Komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:45 Mi 02.06.2004
Autor: Manuela

Seien b, c Element C. Bestimmen Sie den Real- und Imaginärteil der Lösung der Gleichung
[mm] z^2+bz+c=0 [/mm]

        
Bezug
Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:46 Mi 02.06.2004
Autor: Stefan

Liebe Manuela!

> Seien b, c Element C. Bestimmen Sie den Real- und
> Imaginärteil der Lösung der Gleichung
>   [mm] z^2+bz+c=0 [/mm]

Zunächst einmal gilt auch im Komplexen die p-q-Formel, hier also:

[mm] $z_{1,2} [/mm] = [mm] -\frac{b}{2} [/mm] + [mm] \sqrt{\frac{b^2}{4} - c}$, [/mm]

wobei [mm] $\sqrt{\frac{b^2}{4}-c}$ [/mm] für die beiden möglichen komplexen Wurzeln steht.

Die Schwierigkeit besteht also darin, die beiden Wurzeln von

[mm] $\frac{b^2}{4}-c$ [/mm]

zu finden.

Wie aber findet man die Wurzel einer komplexen Zahl?


Satz:

Aus einer komplexen Zahl [mm] $\red{w=u+iv}$ [/mm] kann man genau zwei Quadratwurzeln ziehen. Insbesondere ist in [mm] $\IC$ [/mm] jede quadratische Gleichung [mm] $\red{z^2 + bz + c}$ [/mm] lösbar.


Beweis:

Wir schreiben $z=x+iy$. Dann gilt

[mm] $z^2 [/mm] = [mm] (x^2 [/mm] - [mm] y^2) [/mm]  + i2xy = u+iv = w$

genau dann, wenn

[mm] $x^2 [/mm] - [mm] y^2 [/mm] = u$,
$2xy = v$,

gilt. Das heißt aber:

[mm] $x^2 [/mm] -  [mm] \frac{v^2}{4x^2} [/mm] = u$

oder besser:

[mm] $x^4 [/mm]  - [mm] ux^2 [/mm]  = [mm] \frac{v^2}{4}$. [/mm]

Diese Gleichung hat eine reelle Lösung, nämlich:

$x= [mm] \frac{\sqrt{u + \sqrt{ u^2 + v^2}}}{\sqrt{2}}$. [/mm]

Man hat dann noch:

$y = [mm] \frac{v}{2x}$ [/mm]

und damit die erste Lösung [mm] $z_1=x+iy$ [/mm] der Gleichung [mm] $z^2=w$ [/mm] bestimmt.

Die zweite ist gegeben durch [mm] $z_2 [/mm] = - [mm] z_1$. [/mm]


Was musst du nun also tun?

Du musst erst einmal mit den gerade vorgestellten Formeln die beiden komplexen Wurzeln von

[mm] $\frac{b^2}{4}-c$ [/mm]

bestimmen.

Dann erhältst du die beiden Lösungen:

[mm] $z_{1,2} [/mm] = [mm] -\frac{b}{2} [/mm] + [mm] \sqrt{\frac{b^2}{4} - c}$. [/mm]

Diese kannst du nach Real- und Imaginärteil separieren.


Es mag sein, dass das auch schneller geht, nur sehe ich es gerade nicht.

Liebe Grüße
Stefan


  


Bezug
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