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Komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:25 Mi 06.11.2013
Autor: Gina2013

Aufgabe
Es sei [mm] z\in\IC\backslash\{-i \}. [/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] w:=(z+i)(z+1-(z-1)i)^{-1} [/mm] von z unabhängig ist.
Berechnen Sie Real- und Imaginärteil von w.


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo alle zusammen,
habe versucht den Bruch zu vereinfachen und bin zum Ergebnis gekommen:
[mm] \bruch{z+i}{z+1-zi+i} [/mm]
Dann habe ich versucht im Nenner z oder i ausklammern, was mir auch nicht viel bringt.
Wenn ich mit [mm] \overline{z} [/mm] den Bruch erweitern werde?

        
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Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:40 Mi 06.11.2013
Autor: reverend

Hallo Gina,

> Es sei [mm]z\in\IC\backslash\{-i \}.[/mm]
>  Zeigen Sie, dass
> [mm]w:=(z+i)(z+1-(z-1)i)^{-1}[/mm] von z unabhängig ist.
>  Berechnen Sie Real- und Imaginärteil von w.
>  
>  Hallo alle zusammen,
>  habe versucht den Bruch zu vereinfachen und bin zum
> Ergebnis gekommen:
> [mm]\bruch{z+i}{z+1-zi+i}[/mm]

Ja, ok.

>  Dann habe ich versucht im Nenner z oder i ausklammern, was
> mir auch nicht viel bringt.

Stimmt.

>  Wenn ich mit [mm]\overline{z}[/mm] den Bruch erweitern werde?

Nein, Du musst mit dem konjugiert Komplexen des ganzen Nenners erweitern. Dann wird der Nenner reell und Du bist fast fertig.

Grüße
reverend

PS: Das gilt übrigens immer, wenn ein Nenner komplexwertig ist. ;-)

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Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:51 Mi 06.11.2013
Autor: leduart

Hallo
schreibe z=x+iy dann hast du im Nenner A+iB  A und B Klammern mit x,y
Dann multipliziere mit dem konj. komplexen des Nenners. dann hast du einen reellen Nenner [mm] A^2+B^2 [/mm] und eine komplexe Zahl im Zähler. jetzt berechne Re und Im.
Gruss leduart

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Komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:02 Mi 06.11.2013
Autor: Gina2013

Wäre dann: [mm] \bruch{z+i}{x+iy+1-xi+y+i}*\bruch{-x-yi-1+xi-y-i}{-x-yi-1+xi-y-i} [/mm] oder habe ich da schon mein Fehler?

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Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:15 Mi 06.11.2013
Autor: reverend

Hallo nochmal,

> Wäre dann:
> [mm]\bruch{z+i}{x+iy+1-xi+y+i}*\bruch{-x-yi-1+xi-y-i}{-x-yi-1+xi-y-i}[/mm]
> oder habe ich da schon mein Fehler?

Ja, Du einfach alle Vorzeichen umgekehrt. Der Realteil soll aber so bleiben, wie er war, nur der Imaginärteil wird umgekehrt - dann wirkt die dritte binomische Formel so wie sie soll.

Also: erweitern mit $(x-iy+1+xi+y-i)$.

Grüße
rev


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Komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:35 Mi 06.11.2013
Autor: Gina2013

Danke für den Hinweis und Korrektur.
Habe jetzt im Zähler stehen: [mm] 2x^2+2y^2+2y+2-xyi [/mm]
Hoffe habe alles mögliches gekürzt.

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Komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:42 Mi 06.11.2013
Autor: Gina2013

Habe jetzt auch den Zähler ausgerechnet und folgendes rausbekommen:
[mm] x^2+x^2i+y^2+2yi+y^2i+2y+i+1. [/mm]
also habe dann als Bruch: [mm] \bruch{x^2+x^2i+y^2+2yi+y^2i+2y+i+1}{2x^2+2y^2+2y+2-xyi} [/mm]
Sollte eigentlich nicht so viel übrig bleiben?

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Komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:10 Do 07.11.2013
Autor: Gina2013

Den Bruch habe ich jetzt gerechnet und habe [mm] \bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}+i. [/mm]
Weiß nur nicht, wie w unabhängig von z ist.

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Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:16 Do 07.11.2013
Autor: leduart

Hallo
egal welches z du wählst, es kommt docj immer dasselbe w raus, also ist es nicht abh. von z.
Gruss leduart

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Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:20 Do 07.11.2013
Autor: Fulla

Hallo Gina2013!

> Den Bruch habe ich jetzt gerechnet und habe
> [mm]\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}\red{+}i.[/mm]

Fast. Das rote Pluszeichen muss ein Malzeichen sein.

> Weiß nur nicht, wie w unabhängig von z ist.

Nun, du hast doch
[mm]w=\bruch{z+i}{z+1-zi+i}=\ldots=\frac 12+\frac 12 i[/mm]
berechnet (rechne das nochmal nach!). Im letzten Term taucht kein z mehr auf (und auch kein x oder y, welche ja im Zusammenhang mit z stehen). Es ist also egal, welches [mm]z\in\mathbb C\backslash\{-i\}[/mm] zu wählst, es gilt immer [mm]w=\frac 12+\frac 12 i[/mm].



Lieben Gruß,
Fulla

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Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:38 Do 07.11.2013
Autor: fred97

Wesentlich einfacher geht das Ganze, wenn man beachtet, das gilt:

               w ist unabh. von z [mm] \gdw [/mm] 1/w ist unabh. von z.

Es ist


    [mm] $\bruch{1}{w}= \bruch{z+i-i(z+i)}{z+i}=1-i$ [/mm]

FRED

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