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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:11 Di 29.10.2013 | | Autor: | jayw |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie für $z = [mm] 1-\wurzel{3}j$ [/mm] die kleinste positive ganze Zahl n, für die der Abstand in der komplexen Zahlenebene zwischen $z' = [mm] z^n$ [/mm] und dem Ursprung größer als 100 ist. Geben Sie $z'$ in Normal- und Polarform an. |
Hallo mal wieder!
Ich habe bisher leider nicht wirklich einen Ansatz für die gestellte Aufgabe.
Folgende Überlegung bisher:
- Abstand in der komplexen Zahlenebene: Betrag von z'? Wenn ja, was ist z'?
- Wenn ich z' habe ist Normalform/Polarform denke ich kein Problem mehr.
Mein Hauptproblem ist also: Was ist eigentlich z'? Die erste Ableitung von z?
Danke!
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Bitte korrigiere die Aufgabenstellung. Der Text ist unsinnig. Was soll denn [mm]z_n[/mm] bedeuten? Wozu ist überhaupt [mm]z[/mm] da?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:40 Di 29.10.2013 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie für [mm]z = 1-\wurzel{3}j[/mm] die kleinste positive
> ganze Zahl n, für die der Abstand in der komplexen
> Zahlenebene zwischen [mm]z' = z_n[/mm] und dem Ursprung größer als
> 100 ist. Geben Sie [mm]z'[/mm] in Normal- und Polarform an.
> Hallo mal wieder!
> Ich habe bisher leider nicht wirklich einen Ansatz für
> die gestellte Aufgabe.
> Folgende Überlegung bisher:
> - Abstand in der komplexen Zahlenebene: Betrag von z'?
> Wenn ja, was ist z'?
> - Wenn ich z' habe ist Normalform/Polarform denke ich kein
> Problem mehr.
> Mein Hauptproblem ist also: Was ist eigentlich z'? Die
> erste Ableitung von z?
>
> Danke!
Hallo,
soll das statt [mm] $z_n$ [/mm] vielleicht [mm] $z^n$ [/mm] heißen?
Gruß Abakus
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Ah so! Ja, das würde Sinn machen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:13 Mi 30.10.2013 | | Autor: | jayw |
Natürlich soll es [mm] $z^n$ [/mm] heißen. Sorry...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:22 Mi 30.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo jayw!
> Bestimmen Sie für [mm]z = 1-\wurzel{3}j[/mm] die kleinste positive
> ganze Zahl n, für die der Abstand in der komplexen
> Zahlenebene zwischen [mm]z' = z^n[/mm] und dem Ursprung größer als
> 100 ist. Geben Sie [mm]z'[/mm] in Normal- und Polarform an.
Was ist [mm]j[/mm]? soll es vielleicht [mm]i[/mm] heißen?
> Folgende Überlegung bisher:
> - Abstand in der komplexen Zahlenebene: Betrag von z'?
Genau. Der Abstand einer komplexem Zahl zum Ursprung in der komplexen Ebene ist einfach der Betrag der Zahl.
> Wenn ja, was ist z'?
> - Wenn ich z' habe ist Normalform/Polarform denke ich kein
> Problem mehr.
> Mein Hauptproblem ist also: Was ist eigentlich z'? Die
> erste Ableitung von z?
Nein, [mm]z[/mm] ist ja gar keine Funktion.
[mm]z'[/mm] ist einfach eine Abkürzung für die gesuchte Zahl [mm]z^n[/mm].
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:22 Mi 30.10.2013 | | Autor: | jayw |
> Hallo jayw!
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> > Bestimmen Sie für [mm]z = 1-\wurzel{3}j[/mm] die kleinste positive
> > ganze Zahl n, für die der Abstand in der komplexen
> > Zahlenebene zwischen [mm]z' = z^n[/mm] und dem Ursprung größer
> als
> > 100 ist. Geben Sie [mm]z'[/mm] in Normal- und Polarform an.
> Was ist [mm]j[/mm]? soll es vielleicht [mm]i[/mm] heißen?
Nein, das soll j heißen, wir Elektrotechniker brauchen i für den Strom ;)
>
> > Folgende Überlegung bisher:
> > - Abstand in der komplexen Zahlenebene: Betrag von z'?
> Genau. Der Abstand einer komplexem Zahl zum Ursprung in
> der komplexen Ebene ist einfach der Betrag der Zahl.
>
>
> > Wenn ja, was ist z'?
> > - Wenn ich z' habe ist Normalform/Polarform denke ich
> kein
> > Problem mehr.
> > Mein Hauptproblem ist also: Was ist eigentlich z'? Die
> > erste Ableitung von z?
> Nein, [mm]z[/mm] ist ja gar keine Funktion.
> [mm]z'[/mm] ist einfach eine Abkürzung für die gesuchte Zahl
> [mm]z^n[/mm].
Das heißt ich suche eine komplexe Zahl der Form a+bj für die gilt [mm] $\wurzel {a^2+b^2}>100$ [/mm] ?
>
> Viele Grüße
> Tobias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:34 Mi 30.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > > Bestimmen Sie für [mm]z = 1-\wurzel{3}j[/mm] die kleinste positive
> > > ganze Zahl n, für die der Abstand in der komplexen
> > > Zahlenebene zwischen [mm]z' = z^n[/mm] und dem Ursprung
> größer
> > als
> > > 100 ist. Geben Sie [mm]z'[/mm] in Normal- und Polarform an.
> > Was ist [mm]j[/mm]? soll es vielleicht [mm]i[/mm] heißen?
> Nein, das soll j heißen, wir Elektrotechniker brauchen i
> für den Strom ;)
Achso, da habe ich etwas dazugelernt!
> > > Wenn ja, was ist z'?
> > > - Wenn ich z' habe ist Normalform/Polarform denke ich
> > kein
> > > Problem mehr.
> > > Mein Hauptproblem ist also: Was ist eigentlich z'?
> Die
> > > erste Ableitung von z?
> > Nein, [mm]z[/mm] ist ja gar keine Funktion.
> > [mm]z'[/mm] ist einfach eine Abkürzung für die gesuchte Zahl
> > [mm]z^n[/mm].
> Das heißt ich suche eine komplexe Zahl der Form a+bj für
> die gilt [mm]\wurzel {a^2+b^2}>100[/mm] ?
Nicht irgendeine solche komplexe Zahl ist gesucht, sondern eine der Form [mm]z^n[/mm], und zwar die mit minimalem [mm]n[/mm].
[mm]z[/mm] ist die Zahl [mm]1-\wurzel3j[/mm].
Gesucht sind die kleinste natürliche Zahl [mm]n[/mm] mit [mm]|(1-\wurzel3j)^n|>100[/mm] und die Zahl [mm](1-\wurzel3j)^n[/mm] für dieses [mm]n[/mm] in Normal- und Polarform.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:24 Mi 30.10.2013 | | Autor: | jayw |
>[...]
> > Das heißt ich suche eine komplexe Zahl der Form a+bj
> für
> > die gilt [mm]\wurzel {a^2+b^2}>100[/mm] ?
> Nicht irgendeine solche komplexe Zahl ist gesucht, sondern
> eine der Form [mm]z^n[/mm], und zwar die mit minimalem [mm]n[/mm].
>
> [mm]z[/mm] ist die Zahl [mm]1-\wurzel3j[/mm].
>
> Gesucht sind die kleinste natürliche Zahl [mm]n[/mm] mit
> [mm]|(1-\wurzel3j)^n|>100[/mm] und die Zahl [mm](1-\wurzel3j)^n[/mm] für
> dieses [mm]n[/mm] in Normal- und Polarform.
Das ist klar. Also müsste folgendes korrekt sein:
der Betrag von z ist 2. Also muss ich die Ungleichung [mm] $2^n [/mm] > 100$ lösen.
Das ergibt 6,64385619. Also ist das gesuchte n=7.
Für Normalform und Polarform:
[mm] $1-\wurzel{3}j=2*cos(\alpha)+sin(\alpha)j$, [/mm] wobei [mm] $\alpha=-arccos\left( \bruch{1}{2} \right)=-\bruch{1}{3}\pi=-60$°
[/mm]
[mm] $z=2e^{-\bruch{1}{3}\pi*j}$
[/mm]
[mm] $z^7=128e^{-\bruch{1}{3}\pi*j}=128*cos(-60$°$)+128*sin(-60$°$)j \approx [/mm] 64-110,851j$
Ist das korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:34 Mi 30.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> >[...]
> > > Das heißt ich suche eine komplexe Zahl der Form a+bj
> > für
> > > die gilt [mm]\wurzel {a^2+b^2}>100[/mm] ?
> > Nicht irgendeine solche komplexe Zahl ist gesucht,
> sondern
> > eine der Form [mm]z^n[/mm], und zwar die mit minimalem [mm]n[/mm].
> >
> > [mm]z[/mm] ist die Zahl [mm]1-\wurzel3j[/mm].
> >
> > Gesucht sind die kleinste natürliche Zahl [mm]n[/mm] mit
> > [mm]|(1-\wurzel3j)^n|>100[/mm] und die Zahl [mm](1-\wurzel3j)^n[/mm] für
> > dieses [mm]n[/mm] in Normal- und Polarform.
>
> Das ist klar. Also müsste folgendes korrekt sein:
> der Betrag von z ist 2. Also muss ich die Ungleichung [mm]2^n > 100[/mm]
> lösen.
> Das ergibt 6,64385619. Also ist das gesuchte n=7.
Ja
> Für Normalform und Polarform:
> [mm]1-\wurzel{3}j=2*cos(\alpha)+sin(\alpha)j[/mm], wobei
> [mm]\alpha=-arccos\left( \bruch{1}{2} \right)=-\bruch{1}{3}\pi=-60[/mm]°
>
> [mm]z=2e^{-\bruch{1}{3}\pi*j}[/mm]
>
> [mm]z^7=128e^{-\bruch{1}{3}\pi*j}=128*cos(-60[/mm]°[mm])+128*sin(-60[/mm]°[mm])j \approx 64-110,851j[/mm]
>
> Ist das korrekt?
Ja, aber die Darstellung ....
1. 60° = [mm] \bruch{\pi}{3}
[/mm]
2. cos(-x)=cos(x), sin(-x)=-sin(x)
3. 110,851 muss doch nicht sein !! Es ist [mm] z^7=64z=64(1-\wurzel{3}*j)
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:57 Mi 30.10.2013 | | Autor: | jayw |
[...]
> > Für Normalform und Polarform:
> > [mm]1-\wurzel{3}j=2*cos(\alpha)+sin(\alpha)j[/mm], wobei
> > [mm]\alpha=-arccos\left( \bruch{1}{2} \right)=-\bruch{1}{3}\pi=-60[/mm]°
>
> >
> > [mm]z=2e^{-\bruch{1}{3}\pi*j}[/mm]
> >
> >
> [mm]z^7=128e^{-\bruch{1}{3}\pi*j}=128*cos(-60[/mm]°[mm])+128*sin(-60[/mm]°[mm])j \approx 64-110,851j[/mm]
>
> >
> > Ist das korrekt?
>
> Ja, aber die Darstellung ....
>
> 1. 60° = [mm]\bruch{\pi}{3}[/mm]
>
> 2. cos(-x)=cos(x), sin(-x)=-sin(x)
>
> 3. 110,851 muss doch nicht sein !! Es ist
> [mm]z^7=64z=64(1-\wurzel{3}*j)[/mm]
Okay, das sieht natürlich schicker aus ;) Aber wie kommt man darauf? Doch erst nachdem man cos/sin angewendet hat? Oder gibt es da noch einen "Trick" der mir entgangen ist?
> FRED
>
Ansonsten vielen Dank euch beiden!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:02 Mi 30.10.2013 | | Autor: | fred97 |
Rechne nach: [mm] z^3=-8
[/mm]
Dann ist [mm] z^6=64, [/mm] also [mm] $z^7=64*z$
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:08 Mi 30.10.2013 | | Autor: | jayw |
> Rechne nach: [mm]z^3=-8[/mm]
>
> Dann ist [mm]z^6=64,[/mm] also [mm]z^7=64*z[/mm]
>
> FRED
Sehr elegant, aber wie komme ich darauf zunächst [mm] z^3 [/mm] zu rechnen? Wenn ich das erkennen könnte, könnte ich mir wohlmöglich öfter mal den cos/sin Umweg sparen!?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:23 Mi 30.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Rechne nach: [mm]z^3=-8[/mm]
> >
> > Dann ist [mm]z^6=64,[/mm] also [mm]z^7=64*z[/mm]
> >
> > FRED
>
> Sehr elegant, aber wie komme ich darauf zunächst [mm]z^3[/mm] zu
> rechnen?
60°+60°+60°=180°
FRED
FRED
Wenn ich das erkennen könnte, könnte ich mir
> wohlmöglich öfter mal den cos/sin Umweg sparen!?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:31 Mi 30.10.2013 | | Autor: | jayw |
> > > Rechne nach: [mm]z^3=-8[/mm]
> > >
> > > Dann ist [mm]z^6=64,[/mm] also [mm]z^7=64*z[/mm]
> > >
> > > FRED
> >
> > Sehr elegant, aber wie komme ich darauf zunächst [mm]z^3[/mm] zu
> > rechnen?
>
> 60°+60°+60°=180°
>
> FRED
>
Ahhhh, also zunächst einen Exponenten wählen der mit [mm] \alpha [/mm] multipliziert [mm] \pi [/mm] ergibt (in diesem Fall 3, da [mm] \alpha=\bruch {\pi}{3}), [/mm] somit wird der imaginäre Teil 0 und ich bekomme eine reelle Zahl. Damit kann ich dann einfacher jedes [mm] z^n [/mm] darstellen.
Richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:52 Mi 30.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> > > > Rechne nach: [mm]z^3=-8[/mm]
> > > >
> > > > Dann ist [mm]z^6=64,[/mm] also [mm]z^7=64*z[/mm]
> > > >
> > > > FRED
> > >
> > > Sehr elegant, aber wie komme ich darauf zunächst [mm]z^3[/mm] zu
> > > rechnen?
> >
> > 60°+60°+60°=180°
> >
> > FRED
> >
>
> Ahhhh, also zunächst einen Exponenten wählen der mit
> [mm]\alpha[/mm] multipliziert [mm]\pi[/mm] ergibt (in diesem Fall 3, da
> [mm]\alpha=\bruch {\pi}{3}),[/mm] somit wird der imaginäre Teil 0
> und ich bekomme eine reelle Zahl. Damit kann ich dann
> einfacher jedes [mm]z^n[/mm] darstellen.
> Richtig?
ja
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:02 Mi 30.10.2013 | | Autor: | jayw |
Super, herzlichen Dank!
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