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Guten Abend,
ich hab ein Problem mit der Notation (wie immer) und wollte daher um Rückmeldung/Korrekturen bitten.
Die Aufgabe lautet:
Prüfen sie, ob es sich bei folgender Menge um eine Gruppe handelt:
{z aus den Komplexen Zahlen| |z| = x} für ein fixes x aus den reellen Zahlen >0.
Für eine Gruppe muss Assoziativität gelten, es muss ein neutrales Element geben, und ein inverses zu jedem Element.
Assoziativität ist gegeben. Die komplexen Zahlen sind ein Körper, der Betrag des Produktes ist das Produkt der beträge, und wenn alles bricht stehen unter der Wurzel immernoch reelle Zahlen, die erfüllen die Anforderung.
Das neutrale Element hab ich mir mit (1,0) überlegt, am inversen arbeite ich noch. Meine Frage ist viel eher, ob das so stimmt. Wie gesagt, habe ich gerad irgendwie ein Problem damit, festzustellen, was ich genau prüfen muss (formal gesehen). was ich damit meine ist folgendes: ich habe die Gruppenbedingungen für den Betrag einer komplexen Zahl überprüft, war das richtig? Anders formuliert kann man vllt. auch sagen: wie lese ich aus der Mengennotation aus, womit ich rechnen muss (ob mit komplexen zahlen oder deren Beträgen (oder allgemeiner: mit den elementen oder deren Eigenschaft)) Ich hoffe man versteht was ich meine
Liebe Grüße
Tobias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:48 So 12.10.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo Tobias!
> Guten Abend,
>
> ich hab ein Problem mit der Notation (wie immer) und wollte
> daher um Rückmeldung/Korrekturen bitten.
>
> Die Aufgabe lautet:
> Prüfen sie, ob es sich bei folgender Menge um eine Gruppe
> handelt:
> {z aus den Komplexen Zahlen| |z| = x} für ein fixes x aus
> den reellen Zahlen >0.
Ich geb dem Ding mal einen Namen und schreib's mal "schön" hin:
[mm]K_x:=\{z\in\mathbb C\ \big|\ |z|=x\}[/mm] mit [mm]x>0[/mm] beliebig, aber fest gewählt.
> Für eine Gruppe muss Assoziativität gelten, es muss ein
> neutrales Element geben, und ein inverses zu jedem
> Element.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Assoziativität ist gegeben. Die komplexen Zahlen sind ein
> Körper, der Betrag des Produktes ist das Produkt der
> beträge, und wenn alles bricht stehen unter der Wurzel
> immernoch reelle Zahlen, die erfüllen die Anforderung.
Wenn ich dich richtig verstehe, nimmt du als Gruppenverknüpfung [mm]f\colon K_x \times K_x\rightarrow K_x[/mm] mit [mm]f(a;b):=\sqrt{a\cdot b}[/mm], richtig?
> Das neutrale Element hab ich mir mit (1,0) überlegt, am
Das Neutrale Element muss doch ein Element der Menge [mm]K_x[/mm] sein. Du meinst mit (1,0) sicher die (komplexe) Zahl 1, aber die liegt nur für [mm]x=1[/mm] in der Menge.
> inversen arbeite ich noch. Meine Frage ist viel eher, ob
> das so stimmt. Wie gesagt, habe ich gerad irgendwie ein
> Problem damit, festzustellen, was ich genau prüfen muss
> (formal gesehen). was ich damit meine ist folgendes: ich
> habe die Gruppenbedingungen für den Betrag einer komplexen
> Zahl überprüft, war das richtig? Anders formuliert kann
> man vllt. auch sagen: wie lese ich aus der Mengennotation
> aus, womit ich rechnen muss (ob mit komplexen zahlen oder
> deren Beträgen (oder allgemeiner: mit den elementen oder
> deren Eigenschaft)) Ich hoffe man versteht was ich meine
Tipp zum Inversen: rechne mit Polarkoordinaten [mm]z=r\cdot e^{i\varphi}[/mm].
Lieben Gruß,
Fulla
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Hallo Fulla,
erstmal vielen dank für die enorme Zeit, die du dir genommen hast.
Gruppenverknüpfung ist nach Aufgabe die Multiplikation, mehr ist nicht gegeben.
Du meinst mit (1,0) sicher die (komplexe) Zahl 1,
aber die liegt nur für [mm]x=1[/mm] in der Menge.
Ja, meinte ich :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:07 So 12.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Fulla,
>
> erstmal vielen dank für die enorme Zeit, die du dir
> genommen hast.
> Gruppenverknüpfung ist nach Aufgabe die Multiplikation,
> mehr ist nicht gegeben.
sehr gut.
> Du meinst mit (1,0) sicher die (komplexe) Zahl 1,
> aber die liegt nur für [mm]x=1[/mm] in der Menge.
> Ja, meinte ich :)
Okay. Es gibt zwei Gründe, warum [mm] $G_x$ [/mm] (Fulla schreibt [mm] $K_x$) [/mm] keine Gruppe
ist, wenn $x [mm] \not=1$ [/mm] ist. (Natürlich reicht einer.)
Der erste Grund ist, dass wir nur im Falle [mm] $x=1\,$ [/mm] ein neutrales Element bzgl.
der Multiplikation in [mm] $G_x$ [/mm] haben. Mir stellt sich dabei die Frage, ob Du dabei
klar argumentieren kannst, warum das so ist?
Für die Argumentation solltest Du nämlich etwa heranziehen, dass
[mm] $(\IC \setminus \{0\}, \cdot)$
[/mm]
durchaus eine Gruppe ist. Und beachte, dass [mm] $\cdot \colon \IC \times \IC \to \IC$ [/mm] ist, aber
die Multiplikation [mm] $\cdot_{G_x}$ [/mm] auf [mm] $G_x$ [/mm] natürlich nicht auf [mm] $\IC \times \IC$ [/mm] definiert ist.
(Anstatt [mm] $\cdot_{G_x}$ [/mm] kannst Du meinetwegen auch sowas wie [mm] $\odot$ [/mm] schreiben.)
Eine andere Argumentationsmöglichkeit findest Du in meiner anderen
Antwort:
Für $x [mm] \in ]0,\,\infty[ \setminus \{1\}$ [/mm] ist [mm] $G_x$ [/mm] bzgl. der von [mm] $\cdot$ [/mm] vererbten
Multiplikation nicht abgeschlossen, d.h. für $a,b [mm] \in G_x$ [/mm] gilt i.a. nicht $a*b [mm] \in G_x\,.$
[/mm]
Es bleibt die Frage: Ist denn vielleicht [mm] $G_1$ [/mm] eine Gruppe?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:24 So 12.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
nur, damit das vielleicht mal, wenn auch etwas abstrahiert, ganz klar
kommuniziert wird:
Ist $(G,\*)$ eine Gruppe, so heißt für $U \subseteq G$(!) dann $(U,\odot)$ eine Untergruppe von $(G,\*)\,,$ wenn
$(U, \odot)$
selbst eine Gruppe ist, wobei "$\odot$ von $\*$ vererbt wurde". (D.h. es soll
$\odot=\left. \* \right|_{U \times U} \colon U \times U \to G$ sein!)
Dabei ist beachtenswert, dass nicht nur
$\odot=\left. \* \right|_{U \times U}$
ist (das wäre die Einschränkung von $\*$ auf $U \times U$), denn das würde nur
$\odot \colon U \times U \to G$ mit $a \odot b=a \* b$ für alle $a,b \in U$
nach sich ziehen, sondern dass auch
$\odot \colon U \times U \red{\;\to U}$
erfüllt sein muss.
In Gruppen ist ein neutrales Element bekanntlich eindeutig, daher redet man
dort auch von dem neutralen Element.
In Untergruppen ist "das" neutrale Element ebenfalls eindeutig, denn es
sind ja auch Gruppen. Eine wichtige Erkenntnis ist die Tatsache, dass wir
aber genau wissen, welches Element als neutrales Element der Untergruppe
in Frage kommt, denn es kann, wenn $1_G$ das neutrale in $G\,$ ist, dann
auch nur so sein, dass $1_U=1_G$ das neutrale Element in $U\,$ ist.
Beweis:
Sei $u \in U\,.$ Wir suchen $1_U \in U$ mit
$1_U \odot u=u \odot 1_U=u\,.$
Nach Definition von $\odot$ folgt dann insbesondere
$1_U \*u=u\,,$
so dass, weil $u \in G$ dort ein (rechts-) inverses Element hat
$1_U=1_U\*1_G=1_U\* (u\*u^{-1})=(1_U \* u)\*u^{-1}=u\*u^{-1}=1_G$
folgt. Für $1_U$ kommt also nur $1_U=1_G$ in Frage.
Und dass $1_U:=1_G$ auch "neutrales Element auf $U\,$" ist, folgt nach Definition
von $\odot:$
Für alle $\tilde{u} \in U$ ist damit etwa
$1_U \odot u=1_G \odot \tilde{u}=1_G \* \tilde{u}=\tilde{u}$
(Beachte dabei auch $\tilde{u} \in U$ $\Rightarrow$ $\tilde{u} \in G\,.$)
Das Fazit ist:
Ist $1_G \notin U\,,$ so brauchen wir $U\,$ gar nicht weiter bzgl. der Frage, ob
es eine Untergruppe von $G\,$ ist, zu untersuchen - denn nur $1_G$ kommt auch
als neutrales Element in $U\,$ in Frage.
P.S. Beachte hierbei bitte ganz stark DEN ZUSAMMENHANG ZWISCHEN $\*$ UND $\odot$!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:58 So 12.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Marcel!
> Ist [mm](G,\*)[/mm] eine Gruppe, so heißt [mm](U,\odot)[/mm] eine
> Untergruppe von [mm](G,\*)\,,[/mm] wenn
>
> [mm](U, \odot)[/mm]
>
> selbst eine Gruppe ist.
Das erscheint mir etwas zu verkürzt:
Nach dieser Definition wäre jede Gruppe Untergruppe jeder anderen Gruppe.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:26 So 12.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel!
>
>
> > Ist [mm](G,\*)[/mm] eine Gruppe, so heißt [mm](U,\odot)[/mm] eine
> > Untergruppe von [mm](G,\*)\,,[/mm] wenn
> >
> > [mm](U, \odot)[/mm]
> >
> > selbst eine Gruppe ist.
> Das erscheint mir etwas zu verkürzt:
> Nach dieser Definition wäre jede Gruppe Untergruppe jeder
> anderen Gruppe.
ja, das kommt davon, wenn man schnell mal eine Definition zu Rate ziehen
will, und der eigentliche Sinn meiner Mitteilung in einer anderen Tatsache
lag.
Ich hoffe mal, dass nun alles passend ergänzt/korrigiert ist.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:08 Mo 13.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
> Hallo,
>
> nur, damit das vielleicht mal, wenn auch etwas abstrahiert,
> ganz klar
> kommuniziert wird:
> Ist [mm](G,\*)[/mm] eine Gruppe, so heißt für [mm]U \subseteq G[/mm](!)
> dann [mm](U,\odot)[/mm] eine Untergruppe von [mm](G,\*)\,,[/mm] wenn
>
> [mm](U, \odot)[/mm]
>
> selbst eine Gruppe ist, wobei "[mm]\odot[/mm] von [mm]\*[/mm] vererbt wurde".
> (D.h. es soll
> [mm]\odot=\left. \* \right|_{U \times U} \colon U \times U \to G[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> sein!)
hierbei gibt es - das will ich auch nicht unerwähnt lassen - eigentlich auch
ein Problem:
Normalerweise steht bei einer Gruppe $(G,\*)$ ja, dass $\*$ eine Verknüpfung
auf $G\,,$ also eine Abbildung
$G \times G \to G$
sein soll, so dass ...
Jetzt sage ich oben, dass für $(U,\odot)$ mit $U \subseteq G$ dieses Paar dann
Untergruppe von $(G,\*)$ genannt werden soll, wenn mit
$\odot = \left. \* \right|_{U \times U}$
dann $(U,\odot)$ selbst Gruppe ist. Das beinhaltet folgende Problematik:
Per Definitionem von
$\odot = \left. \* \right|_{U \times U}$
ist $\odot \colon U \times U \to \red{\,G}\,.$
Strenggenommen müssen wir also sagen, dass wir nicht $U\,$ mit $\odot = \left. \* \right|_{U \times U}$
versehen, sondern dass wir auch nochmal $\odot$ so abändern, dass wir
eine entsprechende Abbildung $U \times U \to \red{\,U}$ haben - sofern wir nachweisen
können, dass dies möglich ist (d.h. es muss $\odot(U \times U)\subseteq U$ bzw. $\*(U \times U) \subseteq U$
klar sein).
Angela hatte dafür mal Bezeichnungen hier genannt, ich glaube, sie sprach
von Links- und Rechtseinschränkungen, wobei sie dabei für eine Funktion
$f \colon D \to Z$ dann
$f_{\backslash M}$
für die Abbildung $f_{\backslash M} \colon M \to Z$ mit $f_{\backslash M}(m):=f(m)$ für alle $m \in M \subseteq D$
geschrieben hat, und auch
$f_{/W}$
für die Abbildung
$f_{/W} \colon D \to W \subseteq Z$
mit $f_{/W}(d):=f(d)$ für alle $d \in D$, unter der Voraussetzung $f(D) \subseteq W\,.$
Mit diesen Notationen müßte ich also oben strenggenommen
$\odot=(\*_{\backslash U \times U})_{/U}$
fordern.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:50 So 12.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Tobias,
> Guten Abend,
>
> ich hab ein Problem mit der Notation (wie immer) und wollte
> daher um Rückmeldung/Korrekturen bitten.
>
> Die Aufgabe lautet:
> Prüfen sie, ob es sich bei folgender Menge um eine Gruppe
> handelt:
> {z aus den Komplexen Zahlen| |z| = x} für ein fixes x aus
> den reellen Zahlen >0.
>
> Für eine Gruppe muss Assoziativität gelten, es muss ein
> neutrales Element geben, und ein inverses zu jedem
> Element.
>
> Assoziativität ist gegeben. Die komplexen Zahlen sind ein
> Körper, der Betrag des Produktes ist das Produkt der
> beträge, und wenn alles bricht stehen unter der Wurzel
> immernoch reelle Zahlen, die erfüllen die Anforderung.
>
> Das neutrale Element hab ich mir mit (1,0) überlegt,
ist Dir klar, dass Du damit schon sehr viel anfangen kannst? Sei
$G_x:=\{z \in \IC:\;\; |z|=x\}$
für ein festes, positives $x\,.$
Was aus der Aufgabenstellung nicht hervorgeht, ist eigentlich, ob ihr $G\,$
bzgl. der von $\IC$ vererbten Multiplikation oder Addition auf die Gruppeneigenschaft
untersuchen sollt.
Du machst es jedenfalls bzgl. $\cdot\,:$
Es ist sicher $x \in G_x\,,$ wobei $x=(x,0)$ identifiziert wird. Da wir
$x\;*_{G_x}\;y=x\,$
haben wollen, und $*_{G_x}=\left.\cdot\right|_{{G_x} \times {G_x}}$ ist, folgt, dass
$y=(1,0)$ (betrachte $x*y=x\,$ bzgl. $\cdot \colon \IC \times \IC \to \IC$!)
sein muss, also
$y=(1,0)\,$
auch in $G_x\,$ liegen muss. Nun ist aber $|(1,0)|=\sqrt{1^2+0^2}=1$ (bzw. $|(1,0)|=|1|=1\,$).
Die Frage an Dich: Für genau welche positiven $x\,$ ist $(1,0) \in G_x$?
Beachte:
$(1,0) \in G_x$ $\iff$ $|(1,0)|=x\,.$
Für alle anderen $x\,$ hat bzgl. der "von $\IC$ vererbten" Multiplikation jedenfalls
$G_x$ schonmal mit Sicherheit KEIN neutrales Element!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:58 So 12.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
> Guten Abend,
>
> ich hab ein Problem mit der Notation (wie immer) und wollte
> daher um Rückmeldung/Korrekturen bitten.
>
> Die Aufgabe lautet:
> Prüfen sie, ob es sich bei folgender Menge um eine Gruppe
> handelt:
> {z aus den Komplexen Zahlen| |z| = x} für ein fixes x aus
> den reellen Zahlen >0.
neben meiner Mitteilung und der Antwort von Fulla:
Es wäre toll, wenn der Aufgabensteller mal dazuschreibt, bzgl. welcher
Operation
$G_x:=\{z \in \IC:\;\; |z|=x\}$
auf Gruppeneigenschaften geprüft werden soll. So ist zum Beispiel
$\IZ$ bzgl. der Addition durchaus eine Gruppe,
aber
$\IZ$ bzgl. der Multiplikation sicher keine Gruppe.
(D.h. $(\IZ,+)$ ist eine Gruppe, $(\IZ,\cdot)$ ist keine!)
Ich glaube auch nicht, dass die Frage ist, ob Du eine Verknüpfung auf
$G_x$ so angeben kannst, dass, wenn man $G_x$ mit dieser versieht,
eine Gruppe rauskommt.
Es gibt auch übrigens noch einen anderen Grund, warum $G_x$ mit der von
$\IC$ vererbten Multiplikation keine Gruppe sein kann, wenn $x \not=1$ ist:
Ist $g \in G_x\,,$ so folgt auch $\overline{g} \in G_x\,,$ aber
$|g*\overline{g}|=|g|^2=x^2 \not=x\,,$
so dass die auf ${G_x} \times {G_x}$ eingeschränkte Multiplikation
$\left. \cdot \right|_{{G_x} \times {G_x}} \colon {G_x} \times {G_x} \to \red{\;\IC\;}$
nicht abgeschlossen ist. (D.h. man darf $\red{\IC}$ NICHT durch ${G_x}$ ersetzen!)
Gruß,
Marcel
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