Komplexe Zahlen z^3 = -i < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:38 Sa 20.10.2007 | | Autor: | MrS |
| Aufgabe | | 1) [mm] z^{3} [/mm] = -i |
Hallo Community,
ich steige noch nicht so ganz durch, wie das mit den Komplexen Zahlen funtkioniert! Weiß einer was bei der oben genannten Aufgabenstellung rauskommt bzw. kann mir jemand einen Tip geben, wie ich das berechnen muss?
MfG
MrS
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:51 Sa 20.10.2007 | | Autor: | MontBlanc |
Hi,
also ich würde mal behaupten [mm] z^{3}=-i [/mm] ist einfach eine falsche Aussage...
Ich weiß ja nicht, was da als aufgabenstellung dabei steht. Das ist einfach nur mein erster eindruck...
Lg,
exeqter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Sa 20.10.2007 | | Autor: | MrS |
ich habs nun mit
[mm] z_{k}=cos(\bruch{\pi}{n}+\bruch{k*2*\pi}{n})+i*sin(\bruch{\pi}{n}+\bruch{k*2*\pi}{n})
[/mm]
berechnet und für k = 0 eingesetzt
[mm] z_{0}=cos(\bruch{\pi}{3})+i*sin(\bruch{\pi}{3})
[/mm]
stimmt das so?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:07 Sa 20.10.2007 | | Autor: | abakus |
Es gilt -i=cos(180°) + i sin(180)°
Für das Potenzieren einer beliebigen komplexen Zahl
z=r(cos(phi) + i sin(phi)) gilt
[mm] z^n=r^n [/mm] *(cos(n*phi)+ i*sin(n*phi))
Die Zahl -i hat nun den Betrag r=1, und phi ist 180°.
Der Betrag ändert sich beim Potenzieren nicht, die Frage ist nur folgende:
Für welche Winkel phi gilt cos(3*phi) = cos 180° und sin(3*phi)=sin 180°?
Neben dem sofort zu erkennenden 60° gilt es auch noch für 180° (3*180°=540°=360°+180°) und für 300° (3*300°=900°=2*360°+180°).
Die drei Lösungen haben also die Form
z=cos(60°+k*120°)+ i*sin(60°+k*120°) mit k=0, 1 bzw. 2.
(siehe auch Formel von Moivre).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:42 Sa 20.10.2007 | | Autor: | Martinius |
Hallo abakus,
da ist dir ein kleiner Fehler unterlaufen.
$-i = [mm] e^{i*270°} [/mm] = cos(270°) + i*sin(270°)$
Wäre der Winkel 180°, dann handelte es sich um die Zahl -1.
[mm] $z^{3}=1*e^{i*(270°+k*360°)}$
[/mm]
[mm] $z_{1,2,3}=\wurzel[3]{1}*e^{i*(270°+k*360°)/3}$ [/mm] mit k = 0,1,2
[mm] $z_{1}=1*e^{i*90°} [/mm] = i$
[mm] $z_{2}=1*e^{i*210°}=-\wurzel{\bruch{4}{3}}-0,5*i [/mm] = -0,866 - 0,5*i$
[mm] $z_{3}=1*e^{i*330°}=\wurzel{\bruch{4}{3}}-0,5*i=0,866 [/mm] - i*0,5$
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:15 Sa 20.10.2007 | | Autor: | abakus |
Ist mir das peinlich! Natürlich handelt es sich um 270°,
die drei Lösungen enthalten also die Winkel 90°, 210° und 330°.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:47 Di 23.10.2007 | | Autor: | MrS |
Wie kommt man auf die 270° ? Woher weiß man das?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:23 Di 23.10.2007 | | Autor: | Martinius |
Hallo Mr.S,
was die Gaußsche Zahlenebene ist, weißt Du aber? Ein kartesisches Koordinatenssystem, beim die y-Achse die imaginäre Achse ist, die x-Achse die reelle Achse.
Zeichne dir mal dort hinein die 4 Zahlen 1, i, -1, -i, und bestimme ihre Darstellung in der Polarform.
LG, Martinius
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