Komplexe Zahlen zeichnen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich soll folgende Menge komplexer Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene zeichnen:
[mm] M=\{z\in\IC|z^2+3z+1=0\}.
[/mm]
Soweit ich weiß, kann ich das so noch nicht zeihnen, da ich nen Real- und Imaginärteil brauche. Also hab ich z=x+yi eingesetzt:
[mm] M=\{x,y\in\IR|(x+yi)^2+3(x+yi)+1=0\}. [/mm] Ausgerechnet ergibt das dann:
[mm] M=\{x,y\in\IR|x^2+2xyi-y+3x+3yi+1=0\}. [/mm]
Ab hier komm ich nicht mehr weiter, da ich meines wissens die Gleichung jetzt entweder nach x oder y auflösen sollte, bzw. die Glechung in eine bekannte Form (z.B. Kreisform) bringen muss. Wie mach ich denn das? Oder ist mein Ansatz falsch?
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> Hallo,
> ich soll folgende Menge komplexer Zahlen in der Gaußschen
> Zahlenebene zeichnen:
> [mm]M=\{z\in\IC|z^2+3z+1=0\}.[/mm]
> Soweit ich weiß, kann ich das so noch nicht zeihnen, da
> ich nen Real- und Imaginärteil brauche. Also hab ich z=x+yi
> eingesetzt:
> [mm]M=\{x,y\in\IR|(x+yi)^2+3(x+yi)+1=0\}.[/mm] Ausgerechnet ergibt
> das dann:
> [mm]M=\{x,y\in\IR|x^2+2xyi-y^2+3x+3yi+1=0\}.[/mm]
> Ab hier komm ich nicht mehr weiter, da ich meines wissens
> die Gleichung jetzt entweder nach x oder y auflösen sollte,
> bzw. die Glechung in eine bekannte Form (z.B. Kreisform)
> bringen muss. Wie mach ich denn das? Oder ist mein Ansatz
> falsch?
Hallo, es ist alles völlig richtig bisher, bis auf daß Dir ein Quadrat bei [mm] y^2 [/mm] verlorengegangen ist, ich hab's oben eingefügt.
Was Du als nächstes tun mußt, ist, die Gleichung zu sortieren. Stell in einer vorderen Klammer zusammen, was kein i anhängen hat, und in einer zweiten alles mit i, das i kannst Du ausklammern. Dann steht da so etwas: (...)+(...)i=0. Ja, wann ist das =0? Wenn die vordere und die hintere Klammer =0 sind. Du wirst sehen, es läuft auf die Lösung eines Gleichungssystems hinaus. (Beachte, daß die x und y aus [mm] \IR [/mm] sein müssen, bei meiner Rechnung kam letztendlich heraus, daß M leer ist, aber ich kann mich durchaus verrechnet haben.)
Gruß v. Angela
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Sorry, aber ich komm immer noch nicht weiter, ich hab dann jetzt [mm] (x^2-y^2+3x+1)+(2xy+3y)i=0. [/mm] Aber ich kann das ja jetzt immer noch nicht zeichnen, oder? Ich muss das doch irgendwie entweder nach x oder y auflösen können, kann ich aber nicht (mit dem i drin). Ich hab da noch zwei Ideen zu, die erste ist, dass die einzige Lösung die zwei reellen Nullstellen sind und die zweite, dass ich vielleicht die Gleichung so umstellen könnte:
[mm] z^2+3z+1=0
[/mm]
[mm] z^2+2z+1=-z
[/mm]
[mm] (z+1)^2=-z
[/mm]
|z+1|=-z
[mm] \wurzel{(x+1)^2+y^2}=-x-yi
[/mm]
[mm] x^2+2x+1=x^2+2xyi-y^2
[/mm]
[mm] 2x+1+y^2-2xyi=0
[/mm]
Wobei ich dann abhier auch festhänge.
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> Sorry, aber ich komm immer noch nicht weiter, ich hab dann
> jetzt [mm](x^2-y^2+3x+1)+(2xy+3y)i=0.[/mm]
Das ist doch schon sehr erfreulich.
Da steht ja jetzt im Prinzip so etwas: 0=a+ib
Nun, die a,b sind reelle Zahlen, die einzige Chance, den Ausdruck überhaupt ersteinmal zu einer reellen Zahl zu machen, ist b=0. Sonst kriegt man das i ja nicht weg. Tja, und wenn das Ergebnis 0 heißen soll, muß a=0 sein, da gibt's keine andere Möglichkeit.
Mach Dir das bitte sonnenklar.
Wenn Du das verstanden hast, steht der Plan für das weitere Vorgehen:
[mm] (x^2-y^2+3x+1)+(2xy+3y)i=0
[/mm]
==> [mm] x^2-y^2+3x+1=0 [/mm] und 0=2xy+3y=y(2x+3)
==> [mm] x^2-y^2+3x+1=0 [/mm] und (y=0 oder 2x+3=0)
==>...
Gruß v. Angela
Aber ich kann das ja
> jetzt immer noch nicht zeichnen, oder? Ich muss das doch
> irgendwie entweder nach x oder y auflösen können, kann ich
> aber nicht (mit dem i drin). Ich hab da noch zwei Ideen zu,
> die erste ist, dass die einzige Lösung die zwei reellen
> Nullstellen sind und die zweite, dass ich vielleicht die
> Gleichung so umstellen könnte:
> [mm]z^2+3z+1=0[/mm]
> [mm]z^2+2z+1=-z[/mm]
> [mm](z+1)^2=-z[/mm]
> |z+1|=-z
> [mm]\wurzel{(x+1)^2+y^2}=-x-yi[/mm]
> [mm]x^2+2x+1=x^2+2xyi-y^2[/mm]
> [mm]2x+1+y^2-2xyi=0[/mm]
> Wobei ich dann abhier auch festhänge.
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