matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-Analysis-Komplexe ZahlenKomplexe Zahlentheorie
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Komplexe Zahlentheorie
Komplexe Zahlentheorie < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Komplexe Zahlentheorie: n-te Wurzel komplexer Zahlen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:04 Do 03.01.2008
Autor: Susan86

Aufgabe
Bestimmen Sie alle Lösungen in C der Folgenden Gleichungen:

[mm] x^6= (1-i)/(\wurzel{3}+i) [/mm] und [mm] x^8= (1+i)/(\wurzel{3}-i) [/mm]

Also mein Problem ist einfah wie ich die n-te Wurzel eine Komplexen Zahl ausrechne. In der Vorlesung habe ´n wir das nie gemacht und die Formeln die ich in Wikipedia finde sind so unverständlich...

Hab ich das richtig verstanden: Muss ich diese Ausdrücke erst in die trigonometrische Form umwandeln um die n-te Wurzel ausrechnen zu können oder geht das auch einfacher?
Angefangen habe ich schon (ich habe es jedenfalls versucht) Aber irgendwie habe ich mich dann immer in etwas verstrickt wo ich nicht weiterkomme. Wäre echt lieb wenn mir jemand
helfen könnte denn bei mir steht eine KLausur an und ich weis nicht wie ich das packen soll.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Komplexe Zahlentheorie: Moivre-Formel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:31 Do 03.01.2008
Autor: Roadrunner

Hallo Susan!


Du hast das schon richtig erkannt mit der Vorgehensweise.

Du solltest Du hier die []MOIVRE-Formel anwenden:

$ [mm] \wurzel[n]{z} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[n]{r}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)+i\cdot{}\sin\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)\right] [/mm] $ mit $k \ = \ 0 \ ... \ (n-1)$

Dabei gilt:  $r \ = \ [mm] \wurzel{x^2+y^2}$ [/mm]  sowie  [mm] $\tan(\varphi) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y}{x}$ [/mm]

Dazu musst Du zunächst die entsprechende komplexe Zahl, aus der die Wurzel gezogen werden soll, in die Form $x+i*y_$ umwandeln.

Wie weit kommst Du denn damit?


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                
Bezug
Komplexe Zahlentheorie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:45 Do 03.01.2008
Autor: Susan86

Okay alles klar soweit habe ich es verstanden, ich habe jetzt r ausgerechnet, das müsste [mm] 1/\wurzel{2} [/mm] sein.
Ich habe einfach den Bruch erweitert, damit im Nenner die komplexen Zahlen herausfallen und damit r ausgerechnet.

Mein Problem ist jetzt: Wie geht es weiter?
Du sagtest ich solle die komplexe Zahl in die Form a+bi umwandeln. Ist sie das nicht schon?

Bezug
                        
Bezug
Komplexe Zahlentheorie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:30 Do 03.01.2008
Autor: leduart

Hallo
durch das erweitern hast du sie schon in a+ib verwandelt. jetzt brauchst du noch [mm] \phi [/mm] mit [mm] tan\phi=b/a. [/mm]
Gruss leduart

Bezug
                                
Bezug
Komplexe Zahlentheorie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:43 Do 03.01.2008
Autor: Susan86

Oh mein Gott ich komme mir so blöd vor. Also jetzt nochmal ganz langsam: Ich habe die Formel um die (in diesem Fall) 6. Wurzel auszurechnen also für n=6. Dann habe ich das r ausgerechnet, aber woher habe ich jetzt den tangens????? Und wo soll ich den einsetzen?

Bezug
                                        
Bezug
Komplexe Zahlentheorie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:10 Do 03.01.2008
Autor: rainerS

Hallo!

> Oh mein Gott ich komme mir so blöd vor. Also jetzt nochmal
> ganz langsam: Ich habe die Formel um die (in diesem Fall)
> 6. Wurzel auszurechnen also für n=6. Dann habe ich das r
> ausgerechnet, aber woher habe ich jetzt den tangens?????

Du gehst doch aus von der Darstellung:

[mm]a+ib = r \mathrm{e}^{i\varphi} = r (\cos\varphi + i\sin\varphi) [/mm].

Daraus folgt: [mm]\tan\varphi=\bruch{b}{a}[/mm].

Damit ist [mm] \varphi [/mm] aber noch nicht ganz bestimmt, weil dabei das relative Vorzeichen von a und b verloren geht. (Beispiel: a=1,b=1 und a=-1,b=-1 führen auf den gleichen Tangens, aber im ersten Fall ist [mm]\varphi=\pi/4[/mm], im zweiten [mm]5\pi/4[/mm].)

Dann kannst du in die Moivre-Formel einsteigen.

  Viele Grüße
    Rainer

Bezug
                                                
Bezug
Komplexe Zahlentheorie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:26 Do 03.01.2008
Autor: Susan86

Also ich weiß nicht ob ich einfach nur aufm Schlauch stehe oder warum ich das nicht verstehe: Ich dachte immer sin/cos= tan, aber wie kome ich denn in der obigen formel auf den tangens und wo setzte ich ihn ein, bzw wie wende ich ihn an?
In dieser Formel steht doch nur sin und cosinus und das auch noch in der Summe....

lg
und sorry, dass ich sooo schwer von begriff gerade bin aber die Komplexen Zahlen sind mir echt ein Rätsel und unser Prof setzt sie einfach voraus... :(

Bezug
                                                        
Bezug
Komplexe Zahlentheorie: langsam ...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:30 Do 03.01.2008
Autor: Roadrunner

Hallo Susan!


Dann poste doch mal, wie Deine komplexe Zahl [mm] $\bruch{1-i}{\wurzel{3}+i}$ [/mm] nach dem Erweitern aussieht.

Von dieser neuen Darstellung können wir nämlich den Realteil sowie den Imaginärteil ablesen, um den entsprechenden Winkel [mm] $\varphi$ [/mm] zu ermitteln.


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                                                                
Bezug
Komplexe Zahlentheorie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:39 Do 03.01.2008
Autor: Susan86

Also ausgehend von [mm] (1-i)/\wurzel{3}+i [/mm] habe ich sowohl Zähler als auch den Nenner mit [mm] \wurzel{3}-i [/mm] erweiter um den Nenner Real zu bekommen (muss ich das hier in dem fall überhaupt?)  Durch umformen ergibt sich daraus [mm] (\wurzel{3}-1)/4 [/mm] + [mm] -i*(1+\wurzel{3})/4 [/mm] Damit ist dann der erste Bruch a und der zweite b(ohne das i) in der Formel a+bi. So habe ich dann r ausgerechnet: [mm] r=\wurzel{a^2 + b^2} [/mm]
Danach ist dann [mm] r=\wurzel{1/2} [/mm]

Und jetzt komme ich nicht mehr weiter (stimmt das bis jetzt überhaupt?)

Bezug
                                                                        
Bezug
Komplexe Zahlentheorie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:48 Do 03.01.2008
Autor: rainerS

Hallo!

> Also ausgehend von [mm](1-i)/\wurzel{3}+i[/mm] habe ich sowohl
> Zähler als auch den Nenner mit [mm]\wurzel{3}-i[/mm] erweiter um den
> Nenner Real zu bekommen (muss ich das hier in dem fall
> überhaupt?)  Durch umformen ergibt sich daraus
> [mm](\wurzel{3}-1)/4[/mm] + [mm]-i*(1+\wurzel{3})/4[/mm] Damit ist dann der
> erste Bruch a und der zweite b(ohne das i) in der Formel
> a+bi. So habe ich dann r ausgerechnet: [mm]r=\wurzel{a^2 + b^2}[/mm]
>  
> Danach ist dann [mm]r=\wurzel{1/2}[/mm]
>  
> Und jetzt komme ich nicht mehr weiter (stimmt das bis jetzt
> überhaupt?)

Das ist Alles richtig.

Jetzt musst du noch den Winkel [mm]\varphi[/mm] in der []Polardarstellung bestimmen.

  Viele Grüße
    Rainer

Bezug
                                                        
Bezug
Komplexe Zahlentheorie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:41 Do 03.01.2008
Autor: rainerS

Hallo!

> Also ich weiß nicht ob ich einfach nur aufm Schlauch stehe
> oder warum ich das nicht verstehe: Ich dachte immer
> sin/cos= tan, aber wie kome ich denn in der obigen formel
> auf den tangens und wo setzte ich ihn ein, bzw wie wende
> ich ihn an?

Du hast:

  [mm]a+ib=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)[/mm],

also

  [mm] a= r \cos\varphi [/mm]

und

  [mm] b = r \sin\varphi[/mm].

Was ist also b/a?

>  und sorry, dass ich sooo schwer von begriff gerade bin
> aber die Komplexen Zahlen sind mir echt ein Rätsel und
> unser Prof setzt sie einfach voraus... :(

Dann schau dir doch mal []diese oder diese Seiten an!

  Viele Grüße
    Rainer

Bezug
                                                                
Bezug
Komplexe Zahlentheorie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:56 Do 03.01.2008
Autor: Susan86

Pkay alles klar jetzt versteh ich auch woher der tangens kommt :)
Ich versuchs einfach mal und meld mich dann nochmal obs geklappt hat...

lg und danke

Bezug
                                                                        
Bezug
Komplexe Zahlentheorie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:32 Mi 09.01.2008
Autor: Susan86

Jipieeee hat zwar gedauert habs aber jetzt verstanden und auch gelöst. Vielen Dank nochmal.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]