Komplexer Diffeomorphismus < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei $f:U [mm] \rightarrow [/mm] V$ definiert durch
[mm] $f(z)=\bruch{z-i}{z+i}$ [/mm]
mit [mm] $U:=\{z\in\IC | Im z > 0\}$ [/mm]
[mm] $V:=\{w\in\IC | |w|<1 \}$ [/mm] |
Hi. Wenn man zeigen möchte das diese Abbildung beliebig oft stetig differenzierbar ist. Wie geht man da vor?
Die Umkehrabbildung erhält man ja durch einfaches umformen. Das andere ist mir aber nicht so klar. Ich hab noch wenig Ahnung von der wirklichen komplexen Analysis aber könnt ihr mir ein paar Tipps geben wie ich das lösen kann? (Gerne auch etwas mehr Tipps) Kann ich sagen, dass das ganze als Kombination von unendlich oft stetig diffbaren Funktionen wieder beliebig oft stetig diffbar ist?? Ich glaube das ist zu einfach...
Gruß und Vielen Dank für die Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:51 Di 19.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Sei f:U [mm]\rightarrow[/mm] V definiert durch
> [mm]f(z)=\bruch{z-i}{z+i}[/mm]
> mit [mm]U:={z\in\IC | Im z > 0}[/mm]
> [mm]V:={w\in\IC | |w|<1 }[/mm]
> Hi. Wenn man zeigen möchte das diese
> Abbildung beliebig oft stetig differenzierbar ist. Wie geht
> man da vor?
> Die Umkehrabbildung erhält man ja durch einfaches
> umformen. Das andere ist mir aber nicht so klar. Ich hab
> noch wenig Ahnung von der wirklichen komplexen Analysis
> aber könnt ihr mir ein paar Tipps geben wie ich das lösen
> kann? (Gerne auch etwas mehr Tipps) Kann ich sagen, dass
> das ganze als Kombination von unendlich oft stetig
> diffbaren Funktionen wieder beliebig oft stetig diffbar
> ist?? Ich glaube das ist zu einfach...
Nein, ist es nicht. Auf U sind die Funktionen $z+i$ und $z-i$ beliebig oft stetig differenzierbar, also ist auch deren Quotient beliebig oft stetig differenzierbar.
FRED
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> Gruß und Vielen Dank für die Hilfe!
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Hi.
Ich hab das ganze jetzt mal mit den Cauchy-Riemann-Gleichungen durchgerechnet. Zeigen die mir "einfache Diffbareit" oder "beliebig häufige diffbarkeit"?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:40 Di 19.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Ich hab das ganze jetzt mal mit den
> Cauchy-Riemann-Gleichungen durchgerechnet. Zeigen die mir
> "einfache Diffbareit" oder "beliebig häufige diffbarkeit"?
Wenn ihr schon wisst, dass holomorphe Funktionen beliebig oft diffbar sind, dann ersteres ... aber nimm einfach Fred's Hilfe auf! Zu zeigen sind aber auch vor allem die Wohldefiniertheit der Abbildung - also sind die Elemente wirklich in der Einheistscheibe? Was ist mit der Umkehrabbildung?
SEcki
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