Komplexer Eigenwert < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:05 Do 08.07.2010 | | Autor: | buef |
| Aufgabe | [mm] y'=\pmat{ -3 & -5 \\ 5 & 3 }y
[/mm]
Löse DGL |
Das ist eine Aufgabe aus der Vorlesung, finde aber mein Fehler nicht
[mm] \chi (A)=x^2+16 \Rightarrow \lambda_{1,2}=+-4i
[/mm]
Bestimme ER zu Eigenwerte
[mm] E_{4i}= \IC \vektor{1-2i \\ 1+2i}=v
[/mm]
[mm] E_{-4i}= \IC \vektor{1+2i \\ 1-2i}=v
[/mm]
Jetzt kommt das unklare
[mm] \lambda_{i} [/mm] = [mm] \alpha [/mm] + i [mm] \omega [/mm]
somit ist für [mm] \lambda_1 [/mm] = 4i: [mm] \alpha=0 [/mm] und [mm] \omega [/mm] = 4
somit ist für [mm] \lambda_2 [/mm] = 4i: [mm] \alpha=0 [/mm] und [mm] \omega [/mm] = -4
daraus ergibt sich für mich
[mm] y(t)=c_1 e^{0t}[cos(4t)\vektor{1\\1}-sin(4t)\vektor{-2\\2}] [/mm] + [mm] c_2 e^{0t}[cos(4t)\vektor{1\\1} [/mm] - [mm] sin(4t)\vektor{2\\-2}]
[/mm]
und für den herrn professor
[mm] y(t)=c_1 e^{t} [/mm] [ cos(4t) [mm] \vektor{1\\1} [/mm] - sin(4t) [mm] \vektor{-2\\2} [/mm] ] + [mm] c_2 e^{t}[cos(-4t)\vektor{1\\1} [/mm] - [mm] sin(-4t)\vektor{2\\-2}]
[/mm]
Wieso [mm] e^t [/mm] ? [mm] \alpha=0 [/mm] und somit doch [mm] e^{0t} [/mm] und warum ist [mm] cos(\omega t)=cos(-\omega [/mm] t) analog für sinus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:10 Do 08.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> [mm]y'=\pmat{ -3 & -5 \\ 5 & 3 }y[/mm]
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> Löse DGL
> Das ist eine Aufgabe aus der Vorlesung, finde aber mein
> Fehler nicht
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> [mm]\chi (A)=x^2+16 \Rightarrow \lambda_{1,2}=+-4i[/mm]
>
> Bestimme ER zu Eigenwerte
>
> [mm]E_{4i}= \IC \vektor{1-2i \\ 1+2i}=v[/mm]
> [mm]E_{-4i}= \IC \vektor{1+2i \\ 1-2i}=v[/mm]
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> Jetzt kommt das unklare
>
> [mm]\lambda_{i}[/mm] = [mm]\alpha[/mm] + i [mm]\omega[/mm]
> somit ist für [mm]\lambda_1[/mm] = 4i: [mm]\alpha=0[/mm] und [mm]\omega[/mm] = 4
> somit ist für [mm]\lambda_2[/mm] = 4i: [mm]\alpha=0[/mm] und [mm]\omega[/mm] = -4
>
> daraus ergibt sich für mich
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> [mm]y(t)=c_1 e^{0t}[cos(4t)\vektor{1\\1}-sin(4t)\vektor{-2\\2}][/mm]
> + [mm]c_2 e^{0t}[cos(4t)\vektor{1\\1}[/mm] -
> [mm]sin(4t)\vektor{2\\-2}][/mm]
>
> und für den herrn professor
>
> [mm]y(t)=c_1 e^{t}[/mm] [ cos(4t) [mm]\vektor{1\\1}[/mm] - sin(4t)
> [mm]\vektor{-2\\2}[/mm] ] + [mm]c_2 e^{t}[cos(4t)\vektor{1\\1}[/mm] -
> [mm]sin(4t)\vektor{2\\-2}][/mm]
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> Wieso [mm]e^t[/mm] ? [mm]\alpha=0[/mm] und somit doch [mm]e^{0t}[/mm]
Du hast recht und der Herr Professor hat nicht recht
FRED
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