matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-Komplexe AnalysisKomplexer Logarithmus
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Komplexer Logarithmus
Komplexer Logarithmus < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Komplexe Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Komplexer Logarithmus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:18 Di 19.05.2009
Autor: Denny22

Aufgabe
Gebe ein moeglichst grosses Gebiet an, auf dem [mm] $\log((1-z)^2)$ [/mm] holomorph ist.

Hallo an alle,

ich bin mir nicht ganz sicher, wie ich an diese Aufgabe herangehen muss.

Meine Idee: Sei [mm] $\IR_{-}:=\{z\in\IR\mid z\leqslant 0\}$, [/mm] dann gilt bekanntlich
     [mm] $\log:\IC\backslash\IR_{-}\rightarrow\IC$ [/mm] mit [mm] $z\longmapsto\log(z)$ [/mm] ist stetig und holomorph.
Mit $z=x+iy$ erhalten wir zunaechst
     [mm] $(1-z)^2=(1-x)^2-y^2+i((2x-1)y)$ [/mm]
Da der Logarithmus auf der negativen reellen Achse [mm] $\IR_{-}$ [/mm] nicht holomorph ist, untersuchen wir nun, fuer welche [mm] $z\in\IC$ [/mm] die Funktion [mm] $(1-z)^2$ [/mm] Werte auf dieser Achse annimmt. Wir erhalten die zwei Bedinungen
     (1): [mm] $(1-x)^2-y^2\leqslant [/mm] 0$
     (2): $(2x-1)y=0$
(2) ist nur dann erfuellt, wenn [mm] $x=\frac{1}{2}$ [/mm] oder/und $y=0$ gilt. Betrachte wir $y=0$, so liefert uns (1):
     [mm] $(1-x)^2\leqslant [/mm] 0$
Da diese Ungleichung nur fuer $x=1$ erfuellt ist, folgern wir, dass [mm] $\log((1-z)^2)$ [/mm] im Punkt $z=1$ nicht holomorph sein kann. Betrachten wir nun [mm] $x=\frac{1}{2}$, [/mm] so liefert uns (1):
     [mm] $\frac{1}{4}-y^2\leqslant [/mm] 0$
Da diese Ungleichung nur fuer [mm] $y\in]-\infty,-\frac{1}{2}]\cup[\frac{1}{2},+\infty[$ [/mm] erfuellt ist, folgern wir, dass [mm] $\log((1-z)^2)$ [/mm] in den Punkten [mm] $z=\frac{1}{2}+iy$ [/mm] mit [mm] $y\in]-\infty,-\frac{1}{2}]\cup[\frac{1}{2},+\infty[$ [/mm] nicht holomorph sein kann. Daher ist das groesst moegliche Gebiet, auf dem [mm] $\log((1-z)^2)$ [/mm] holomorph ist gegeben durch
     [mm] $\IC\backslash (D_1\cup D_2)$ [/mm]
wobei
     [mm] $D_1:=\{z=(1,0)\}$ [/mm]
     [mm] $D_2:=\{z=\frac{1}{2}+iy\mid y\in]-\infty,-\frac{1}{2}]\cup[\frac{1}{2},+\infty[\}$ [/mm]

Waere schoen, wenn mir jemand sagen koennte, ob die Loesung tatsaechlich stimmt.

Danke und Gruss

        
Bezug
Komplexer Logarithmus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:59 Di 19.05.2009
Autor: fred97


> Gebe ein moeglichst grosses Gebiet an, auf dem
> [mm]\log((1-z)^2)[/mm] holomorph ist.
>  Hallo an alle,
>  
> ich bin mir nicht ganz sicher, wie ich an diese Aufgabe
> herangehen muss.
>
> Meine Idee: Sei [mm]\IR_{-}:=\{z\in\IR\mid z\leqslant 0\}[/mm], dann
> gilt bekanntlich
>       [mm]\log:\IC\backslash\IR_{-}\rightarrow\IC[/mm] mit
> [mm]z\longmapsto\log(z)[/mm] ist stetig und holomorph.
>  Mit [mm]z=x+iy[/mm] erhalten wir zunaechst
>       [mm](1-z)^2=(1-x)^2-y^2+i((2x-1)y)[/mm]

Hier stimmt was nicht !!! Richtig:

[mm](1-z)^2=(1-x)^2-y^2+2i((x-1)y)[/mm]


Ansonsten hast Du richtig gedacht. Rechne also nochmal


FRED





>  Da der Logarithmus auf der negativen reellen Achse [mm]\IR_{-}[/mm]
> nicht holomorph ist, untersuchen wir nun, fuer welche
> [mm]z\in\IC[/mm] die Funktion [mm](1-z)^2[/mm] Werte auf dieser Achse
> annimmt. Wir erhalten die zwei Bedinungen
>       (1): [mm](1-x)^2-y^2\leqslant 0[/mm]
>       (2): [mm](2x-1)y=0[/mm]
>  (2) ist nur dann erfuellt, wenn [mm]x=\frac{1}{2}[/mm] oder/und [mm]y=0[/mm]
> gilt. Betrachte wir [mm]y=0[/mm], so liefert uns (1):
>       [mm](1-x)^2\leqslant 0[/mm]
>  Da diese Ungleichung nur fuer [mm]x=1[/mm]
> erfuellt ist, folgern wir, dass [mm]\log((1-z)^2)[/mm] im Punkt [mm]z=1[/mm]
> nicht holomorph sein kann. Betrachten wir nun
> [mm]x=\frac{1}{2}[/mm], so liefert uns (1):
>       [mm]\frac{1}{4}-y^2\leqslant 0[/mm]
>  Da diese Ungleichung nur
> fuer [mm]y\in]-\infty,-\frac{1}{2}]\cup[\frac{1}{2},+\infty[[/mm]
> erfuellt ist, folgern wir, dass [mm]\log((1-z)^2)[/mm] in den
> Punkten [mm]z=\frac{1}{2}+iy[/mm] mit
> [mm]y\in]-\infty,-\frac{1}{2}]\cup[\frac{1}{2},+\infty[[/mm] nicht
> holomorph sein kann. Daher ist das groesst moegliche
> Gebiet, auf dem [mm]\log((1-z)^2)[/mm] holomorph ist gegeben durch
>       [mm]\IC\backslash (D_1\cup D_2)[/mm]
>  wobei
>       [mm]D_1:=\{z=(1,0)\}[/mm]
>       [mm]D_2:=\{z=\frac{1}{2}+iy\mid y\in]-\infty,-\frac{1}{2}]\cup[\frac{1}{2},+\infty[\}[/mm]
>  
> Waere schoen, wenn mir jemand sagen koennte, ob die Loesung
> tatsaechlich stimmt.
>  
> Danke und Gruss


Bezug
                
Bezug
Komplexer Logarithmus: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:23 Di 19.05.2009
Autor: Denny22

Hallo Fred,

vielen Dank fuer die Antwort und das Auffinden des Fehlers.

Gruss Denny

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Komplexe Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]