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Komplexer Logarithmus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:18 Di 19.05.2009
Autor: Denny22

Aufgabe
Gebe ein moeglichst grosses Gebiet an, auf dem [mm] $\log((1-z)^2)$ [/mm] holomorph ist.

Hallo an alle,

ich bin mir nicht ganz sicher, wie ich an diese Aufgabe herangehen muss.

Meine Idee: Sei [mm] $\IR_{-}:=\{z\in\IR\mid z\leqslant 0\}$, [/mm] dann gilt bekanntlich
     [mm] $\log:\IC\backslash\IR_{-}\rightarrow\IC$ [/mm] mit [mm] $z\longmapsto\log(z)$ [/mm] ist stetig und holomorph.
Mit $z=x+iy$ erhalten wir zunaechst
     [mm] $(1-z)^2=(1-x)^2-y^2+i((2x-1)y)$ [/mm]
Da der Logarithmus auf der negativen reellen Achse [mm] $\IR_{-}$ [/mm] nicht holomorph ist, untersuchen wir nun, fuer welche [mm] $z\in\IC$ [/mm] die Funktion [mm] $(1-z)^2$ [/mm] Werte auf dieser Achse annimmt. Wir erhalten die zwei Bedinungen
     (1): [mm] $(1-x)^2-y^2\leqslant [/mm] 0$
     (2): $(2x-1)y=0$
(2) ist nur dann erfuellt, wenn [mm] $x=\frac{1}{2}$ [/mm] oder/und $y=0$ gilt. Betrachte wir $y=0$, so liefert uns (1):
     [mm] $(1-x)^2\leqslant [/mm] 0$
Da diese Ungleichung nur fuer $x=1$ erfuellt ist, folgern wir, dass [mm] $\log((1-z)^2)$ [/mm] im Punkt $z=1$ nicht holomorph sein kann. Betrachten wir nun [mm] $x=\frac{1}{2}$, [/mm] so liefert uns (1):
     [mm] $\frac{1}{4}-y^2\leqslant [/mm] 0$
Da diese Ungleichung nur fuer [mm] $y\in]-\infty,-\frac{1}{2}]\cup[\frac{1}{2},+\infty[$ [/mm] erfuellt ist, folgern wir, dass [mm] $\log((1-z)^2)$ [/mm] in den Punkten [mm] $z=\frac{1}{2}+iy$ [/mm] mit [mm] $y\in]-\infty,-\frac{1}{2}]\cup[\frac{1}{2},+\infty[$ [/mm] nicht holomorph sein kann. Daher ist das groesst moegliche Gebiet, auf dem [mm] $\log((1-z)^2)$ [/mm] holomorph ist gegeben durch
     [mm] $\IC\backslash (D_1\cup D_2)$ [/mm]
wobei
     [mm] $D_1:=\{z=(1,0)\}$ [/mm]
     [mm] $D_2:=\{z=\frac{1}{2}+iy\mid y\in]-\infty,-\frac{1}{2}]\cup[\frac{1}{2},+\infty[\}$ [/mm]

Waere schoen, wenn mir jemand sagen koennte, ob die Loesung tatsaechlich stimmt.

Danke und Gruss

        
Bezug
Komplexer Logarithmus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:59 Di 19.05.2009
Autor: fred97


> Gebe ein moeglichst grosses Gebiet an, auf dem
> [mm]\log((1-z)^2)[/mm] holomorph ist.
>  Hallo an alle,
>  
> ich bin mir nicht ganz sicher, wie ich an diese Aufgabe
> herangehen muss.
>
> Meine Idee: Sei [mm]\IR_{-}:=\{z\in\IR\mid z\leqslant 0\}[/mm], dann
> gilt bekanntlich
>       [mm]\log:\IC\backslash\IR_{-}\rightarrow\IC[/mm] mit
> [mm]z\longmapsto\log(z)[/mm] ist stetig und holomorph.
>  Mit [mm]z=x+iy[/mm] erhalten wir zunaechst
>       [mm](1-z)^2=(1-x)^2-y^2+i((2x-1)y)[/mm]

Hier stimmt was nicht !!! Richtig:

[mm](1-z)^2=(1-x)^2-y^2+2i((x-1)y)[/mm]


Ansonsten hast Du richtig gedacht. Rechne also nochmal


FRED





>  Da der Logarithmus auf der negativen reellen Achse [mm]\IR_{-}[/mm]
> nicht holomorph ist, untersuchen wir nun, fuer welche
> [mm]z\in\IC[/mm] die Funktion [mm](1-z)^2[/mm] Werte auf dieser Achse
> annimmt. Wir erhalten die zwei Bedinungen
>       (1): [mm](1-x)^2-y^2\leqslant 0[/mm]
>       (2): [mm](2x-1)y=0[/mm]
>  (2) ist nur dann erfuellt, wenn [mm]x=\frac{1}{2}[/mm] oder/und [mm]y=0[/mm]
> gilt. Betrachte wir [mm]y=0[/mm], so liefert uns (1):
>       [mm](1-x)^2\leqslant 0[/mm]
>  Da diese Ungleichung nur fuer [mm]x=1[/mm]
> erfuellt ist, folgern wir, dass [mm]\log((1-z)^2)[/mm] im Punkt [mm]z=1[/mm]
> nicht holomorph sein kann. Betrachten wir nun
> [mm]x=\frac{1}{2}[/mm], so liefert uns (1):
>       [mm]\frac{1}{4}-y^2\leqslant 0[/mm]
>  Da diese Ungleichung nur
> fuer [mm]y\in]-\infty,-\frac{1}{2}]\cup[\frac{1}{2},+\infty[[/mm]
> erfuellt ist, folgern wir, dass [mm]\log((1-z)^2)[/mm] in den
> Punkten [mm]z=\frac{1}{2}+iy[/mm] mit
> [mm]y\in]-\infty,-\frac{1}{2}]\cup[\frac{1}{2},+\infty[[/mm] nicht
> holomorph sein kann. Daher ist das groesst moegliche
> Gebiet, auf dem [mm]\log((1-z)^2)[/mm] holomorph ist gegeben durch
>       [mm]\IC\backslash (D_1\cup D_2)[/mm]
>  wobei
>       [mm]D_1:=\{z=(1,0)\}[/mm]
>       [mm]D_2:=\{z=\frac{1}{2}+iy\mid y\in]-\infty,-\frac{1}{2}]\cup[\frac{1}{2},+\infty[\}[/mm]
>  
> Waere schoen, wenn mir jemand sagen koennte, ob die Loesung
> tatsaechlich stimmt.
>  
> Danke und Gruss


Bezug
                
Bezug
Komplexer Logarithmus: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:23 Di 19.05.2009
Autor: Denny22

Hallo Fred,

vielen Dank fuer die Antwort und das Auffinden des Fehlers.

Gruss Denny

Bezug
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