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| Aufgabe | | 11 a) Es sollen zylindrische Dosen mit dem Volumen V hergestellt werden. Wie sind der Radius r und die Höhe h zu wählen, damit die gesamte Nahtlinie aus Mantellinie, Deckel- und Bodenrand minimal wird? |
Hallo,
stehe ziemlich auf dem Schlauch, habe keine Ahnung, wie diese Aufgabe ohne einen einzigen gegebenen konkreten Wert lösen soll.
Was ich weiß, ist, dass
[mm] $V_{Zylinder}=\pi*r^2h$,
[/mm]
[mm] $O_{Zylinder}=2\pi*r(r+h)$,
[/mm]
[mm] $M_{Zylinder}=2\pi*rh$ [/mm] und
[mm] $N_{Nahtlinie}=h+4\pi*r$
[/mm]
ist und, dass ich von der Zielfunktion die Minima berechnen muss.
Doch da hört es schon auf.
Vielen Dank für Hilfen,
Stefan
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
du hast zwar keinen konkreten Wert, aber dennoch ist ja das Volumen $V$ fest vorgegeben. Dieses gibt schonmal die Beziehung zwischen $r$ und $h$ an.
Minimiert werden soll die Länge der Nahtlinie. Diese hängt dummerweise von $r$ und $h$ ab, aber da wir die Volumenvorgabe haben, können wir eine Variable eliminieren.
Wir lösen mal die Volumengleichung nach $h$ auf:
$h = [mm] \bruch{V}{\pi*r^2}$
[/mm]
Den rechten Term können wir nun für $h$ in unsere Nahtliniengleichung einsetzen und erhalten:
$N = h + [mm] 4\pi*r [/mm] = [mm] \bruch{V}{\pi*r^2} [/mm] + [mm] 4\pi*r [/mm] = [mm] \bruch{V + 4\pi^2*r^3}{\pi*r^2}$
[/mm]
Nun leitest du [mm] $N\left(r\right)$ [/mm] ab, löst [mm] $N'\left(r\right)$ [/mm] und prüfst, ob die Lösung wirklich ein Minimum darstellt. Wenn ja, dann kannst du zu dem [mm] $r_{min}$ [/mm] noch das entsprechende [mm] $h_{min}$ [/mm] aus der Beziehung mit dem Volumen berechnen.
Gruß
Martin
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Hi noch mal,
1. Frage: Wie muss ich den das V in dem Term behandeln, sobald ich die 1. Ableitung gleich 0 gesetzt habe?
2. Frage: Ist es so richtig abgeleitet?
[mm] $N(r)=\bruch{V}{\pi*r^2}+4\pi*r$$=\bruch{V+4\pi^2*r^3}{\pi*r^2}$
[/mm]
nach der Quotientenregel folgt:
[mm] $N'(r)=\bruch{(V+4\pi^2*r^3)'*\pi*r^2+(V+4\pi^2*r^3)*2\pi*r}{\pi^2*r^4}$
[/mm]
[mm] $N'(r)=\bruch{(V'+12\pi^2*r^2)*\pi*r^2+(V+4\pi^2*r^3)*2\pi*r}{\pi^2*r^4}$
[/mm]
[mm] $N'(r)=\bruch{V'*\pi*r^2+12*\pi^3*r^4}{\pi^2*r^4}$$+\bruch{2*V*\pi*r+8*\pi^3*r^4}{\pi^2*r^4}$
[/mm]
[mm] $N'(r)=\bruch{V'*\pi*r^2}{\pi^2*r^4}$$+\bruch{12*\pi^3*r^4}{\pi^2*r^4}$$+\bruch{2*V*\pi*r}{\pi^2*r^4}$$+\bruch{8*\pi^3*r^4}{\pi^2*r^4}$
[/mm]
[mm] $N'(r)=\bruch{V'}{\pi*r^2}$$+12\pi$$+\bruch{2*V}{\pi*r^3}$$+8\pi$
[/mm]
[mm] $N'(r)=20\pi$$+\bruch{V'*r+2*V}{\pi*r^3}$
[/mm]
Extrema
NB: [mm] N'(r_{0})=0.
[/mm]
$N'(r)=0 [mm] \gdw 20\pi$$+\bruch{V'*r+2*V}{\pi*r^3}=0$
[/mm]
[mm] \gdw 20\pi^2*r^3+V'*r+2*V=0 [/mm]
Und weiter komme ich nicht, da sich jetzt meine erste Frage stellt.
Viele Dank schon mal,
Stefan
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Hallo,
1. Das $V$ ist ja konstant. Also entweder bei einem Prdoukt als konstanten Faktor behandeln oder, wenn es alleine steht, bei der Ableitung verschwinden lassen.
Beim Lösen der Gleichung am Ende ist es auch nur eine konstante Größe.
Also einfach nach [mm] $r^3$ [/mm] auflösen, dritte Wurzel aus dem Ganzen ziehen und fertig.
2. Du hast dich bei der Quotientenregel vertan. Die heißt:
[mm] $\left(\bruch{u}{v}\right)' [/mm] = [mm] \bruch{u'*v - u*v'}{v^2}$
[/mm]
Also Minus statt Plus!
Gruß
Martin
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Ok,
$ [mm] N'(r)=\bruch{(V+4\pi^2\cdot{}r^3)'\cdot{}\pi\cdot{}r^2-(V+4\pi^2\cdot{}r^3)\cdot{}2\pi\cdot{}r}{\pi^2\cdot{}r^4} [/mm] $
$ [mm] N'(r)=\bruch{(12\pi^2\cdot{}r^2)\cdot{}\pi\cdot{}r^2-(V+4\pi^2\cdot{}r^3)\cdot{}2\pi\cdot{}r}{\pi^2\cdot{}r^4} [/mm] $
$ [mm] N'(r)=\bruch{\pi\cdot{}r^2+12\cdot{}\pi^3\cdot{}r^4}{\pi^2*r^4}$$-\bruch{2\cdot{}V\cdot{}\pi\cdot{}r+8\cdot{}\pi^3\cdot{}r^4}{\pi^2\cdot{}r^4} [/mm] $
$ [mm] N'(r)=\bruch{\pi\cdot{}r^2}{\pi^2\cdot{}r^4} [/mm] $$ [mm] +\bruch{12\cdot{}\pi^3\cdot{}r^4}{\pi^2\cdot{}r^4} [/mm] $$ [mm] -(\bruch{2\cdot{}V\cdot{}\pi\cdot{}r}{\pi^2\cdot{}r^4} [/mm] $$ [mm] +\bruch{8\cdot{}\pi^3\cdot{}r^4}{\pi^2\cdot{}r^4}) [/mm] $
$ [mm] N'(r)=\bruch{\pi\cdot{}r^2}{\pi^2\cdot{}r^4} [/mm] $$ [mm] +\bruch{12\cdot{}\pi^3\cdot{}r^4}{\pi^2\cdot{}r^4} [/mm] $$ [mm] -\bruch{2\cdot{}V\cdot{}\pi\cdot{}r}{\pi^2\cdot{}r^4} [/mm] $$ [mm] -\bruch{8\cdot{}\pi^3\cdot{}r^4}{\pi^2\cdot{}r^4} [/mm] $
$ [mm] N'(r)=\bruch{1}{\pi\cdot{}r^2} [/mm] $$ [mm] +12\pi [/mm] $$ [mm] -\bruch{2\cdot{}V}{\pi\cdot{}r^3} [/mm] $$ [mm] -8\pi [/mm] $
$ [mm] N'(r)=4\pi [/mm] $$ [mm] +\bruch{r-2*V}{\pi\cdot{}r^3} [/mm] $
Extrema
NB: $ [mm] N'(r_{0})=0. [/mm] $
$ N'(r)=0 [mm] \gdw 4\pi [/mm] $$ [mm] +\bruch{r-2\cdot{}V}{\pi\cdot{}r^3}=0 [/mm] $
$ [mm] \gdw 4\pi^2\cdot{}r^3+r-2\cdot{}V=0 [/mm] $
ist das dann also.
Aber wie kann ich jetzt nach r auflösen (Ausklammern nicht möglich, [mm] r^3 [/mm] und r vorhanden)?
Danke für die Mühe,
Stefan
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Ich sehe das als Frage, nicht als Mitteilung an. :)
Stefan
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Du hast dich beim Übergang von der zweiten in die dritte Zeile vertan!
Beachte, dass dort im Zähler am Anfang steht:
[mm] $\left(12\pi^2*r^2\right)*\pi*r^2$
[/mm]
Beim Auflösen fällt nur die Klammer weg, weil in der Klammer ein Mal und kein Plus steht! Also musst du im Folgenden den 1. Ausdruck [mm] $\pi*r^2$ [/mm] weglassen. Dann bist du auf dem richtigen Weg und erhältst nur ein [mm] $r^3$, [/mm] das man isolieren kann.
Gruß
Martin
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Ach, das war jetzt passiert, weil ich das auf Grundlage der vorherigen Rechnung korrigiert hatte.
$ [mm] N'(r)=\bruch{(V+4\pi^2\cdot{}r^3)'\cdot{}\pi\cdot{}r^2-(V+4\pi^2\cdot{}r^3)\cdot{}2\pi\cdot{}r}{\pi^2\cdot{}r^4} [/mm] $
$ [mm] N'(r)=\bruch{(12\pi^2\cdot{}r^2)\cdot{}\pi\cdot{}r^2-(V+4\pi^2\cdot{}r^3)\cdot{}2\pi\cdot{}r}{\pi^2\cdot{}r^4} [/mm] $
$ [mm] N'(r)=\bruch{12\pi^3*r^4}{\pi^2\cdot{}r^4} [/mm] $$ [mm] -\bruch{2\cdot{}V\cdot{}\pi\cdot{}r+8\cdot{}\pi^3\cdot{}r^4}{\pi^2\cdot{}r^4} [/mm] $
$ [mm] N'(r)=12\pi-(\bruch{2\cdot{}V\cdot{}\pi\cdot{}r}{\pi^2\cdot{}r^4} [/mm] $$ [mm] +\bruch{8\cdot{}\pi^3\cdot{}r^4}{\pi^2\cdot{}r^4}) [/mm] $
$ [mm] N'(r)=12\pi-\bruch{2\cdot{}V}{\pi\cdot{}r^3} $$-8\pi$
[/mm]
$ [mm] N'(r)=4\pi [/mm] $$ [mm] -\bruch{2*V}{\pi\cdot{}r^3}$
[/mm]
Extrema
NB: $ [mm] N'(r_{0})=0. [/mm] $
$ N'(r)=0 [mm] \gdw 4\pi [/mm] $$ [mm] -\bruch{2\cdot{}V}{\pi\cdot{}r^3}=0 [/mm] $
$ [mm] \gdw 4\pi^2\cdot{}r^3-2\cdot{}V=0 [/mm] $
$ [mm] \gdw 4\pi^2*r^3=2V$
[/mm]
$ [mm] \gdw r^3=\bruch{2V}{4\pi^2}$
[/mm]
$ [mm] \gdw r^3=\bruch{V}{2\pi^2}$
[/mm]
$ [mm] \gdw r=\wurzel[3]{\bruch{V}{2\pi^2}}$
[/mm]
Jetzt hab' ich's. :)
Vielen Dank für deine Mühe!
Grüße,
Stefan.
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:08 Di 19.09.2006 | | Autor: | Mathe00 |
> Den rechten Term können wir nun für [mm]h[/mm] in unsere
> Nahtliniengleichung einsetzen und erhalten:
> [mm]N = h + 4\pi*r = \bruch{V}{\pi*r^2} + 4\pi*r = \bruch{V + 4\pi^2*r^3}{\pi*r^2}[/mm]
kannst du mir vielleicht erklären, wie du auf die NAhtliniengleichung kommst und wie du von [mm] \bruch{V}{\pi*r^2} [/mm] + [mm] 4\pi*r [/mm] zu
[mm] \bruch{V + 4\pi^2*r^3}{\pi*r^2}
[/mm]
kommst?
Wär ganz lieb, weil sonst kann ich das nicht richtig nachvollziehen
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:26 Mi 20.09.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Mathe00,
> > Den rechten Term können wir nun für [mm]h[/mm] in unsere
> > Nahtliniengleichung einsetzen und erhalten:
> > [mm]N = h + 4\pi*r = \bruch{V}{\pi*r^2} + 4\pi*r = \bruch{V + 4\pi^2*r^3}{\pi*r^2}[/mm]
>
> kannst du mir vielleicht erklären, wie du auf die
> NAhtliniengleichung kommst
Um eine Dose herzustellen, brauchst du ein rechteckiges Blech, aus dem du den Mantel biegst. Das ergibt eine Naht der Länge h. Dann brauchst du noch 2 passende kreisförmige Blechstücke für den Boden und den Deckel. Das ergibt zwei Nahtstellen, die gleich dem Umfang der Kreise sind. Also erhälst du
$ N = h + 2 [mm] \cdot [/mm] 2 [mm] \pi [/mm] r $
$ = h + 4 [mm] \pi [/mm] r $
> und wie du von
> [mm]\bruch{V}{\pi*r^2}[/mm] + [mm]4\pi*r[/mm] zu
> [mm]\bruch{V + 4\pi^2*r^3}{\pi*r^2}[/mm]
> kommst?
[mm]\bruch{V}{\pi*r^2} + 4\pi*r[/mm]
$ = [mm] \bruch{V}{\pi*r^2} [/mm] + [mm] \bruch{4\pi*r \cdot \pi r^2}{\pi r^2} [/mm] $
$ = [mm] \bruch{V + 4\pi^2*r^3}{\pi*r^2} [/mm] $
> Wär ganz lieb, weil sonst kann ich das nicht richtig
> nachvollziehen
Reicht das als Erklärung?
Gruß
Sigrid
>
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:39 Mi 20.09.2006 | | Autor: | Mathe00 |
tachen Sirgrid,
ja rechtherzlichen Dank hast mir sehr geholfen
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