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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:24 Sa 09.09.2006 | | Autor: | Fanca |
| Aufgabe | Der Querschnitt eines Abwasserkanals hat die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis.
Wie müssen bei gegebenem Umfang U des Querschnitts die Rechteckseiten gewählt werden, damit der Querschnitt den größten Flächeninhalt hat?
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Hallo!
Habe bereits diesen Ansatz, der richtig sein müsste:
Umfang insgesamt: U = [mm] \pi*r [/mm] + 2*r + 2*x
(r=radius, 2r=eine seite des Rechtecks, x=andere seite)
Flächeninhalt: A = [mm] 1/2*\pi*r²+2*r*x
[/mm]
Nun stelle ich beim Umfang so um, dass ich eine Variable in den Flächeninhalt einsetze und rechne es dann aus.
Aber nun komm ich nicht weiter!
Lacht mich nicht aus, aber irgendwie steh ich komplett aufm Schlauch. Ist das überhaupt richtig?
Hab die Umfangsformel jetzt so umgestellt:
x = [mm] \underline{-\pi*r} [/mm] - r
[mm] \overline{2}
[/mm]
Hab aber irgendwie das Gefühl, dass das komplett falsch ist.
Danke schonmal für eure Hilfe!! Bin leicht verzweifelt *grml*
LG Fanca
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo.
> Der Querschnitt eines Abwasserkanals hat die Form eines
> Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis.
> Wie müssen bei gegebenem Umfang U des Querschnitts die
> Rechteckseiten gewählt werden, damit der Querschnitt den
> größten Flächeninhalt hat?
>
> Hallo!
>
> Habe bereits diesen Ansatz, der richtig sein müsste:
>
> Umfang insgesamt: U = [mm]\pi*r[/mm] + 2*r + 2*x
>
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> (r=radius, 2r=eine seite des Rechtecks, x=andere seite)
>
> Flächeninhalt: A = [mm]1/2*\pi*r²+2*r*x[/mm]
>
> Nun stelle ich beim Umfang so um, dass ich eine Variable in
> den Flächeninhalt einsetze und rechne es dann aus.
> Aber nun komm ich nicht weiter!
> Lacht mich nicht aus, aber irgendwie steh ich komplett
> aufm Schlauch. Ist das überhaupt richtig?
>
> Hab die Umfangsformel jetzt so umgestellt:
>
> x = [mm]\underline{-\pi*r}[/mm] - r
> [mm]\overline{2}[/mm]
>
>
> Hab aber irgendwie das Gefühl, dass das komplett falsch
> ist.
Es könnte sein, daß Dich Dein Gefühl da nicht betrügt... denn die Formel für den Umfang U sollte schließlich auch noch das U beinhalten, oder?
Ich bekomme folgendes:
[mm] $U=\pi [/mm] r+2r+2x$ | [mm] $-2r-\pi [/mm] r$
[mm] $U-2r-\pi [/mm] r=2x$ | $:2$
[mm] $x=\frac{U-2r-\pi r}{2}=\frac{U-(2+\pi) r}{2}$.
[/mm]
Kommst Du hiermit weiter?
Grüße,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 Sa 09.09.2006 | | Autor: | Fanca |
Hallo Christian!
Vielen lieben Dank für deine Antwort, damit komme ich insofern weiter, dass ich es jetzt in A eingesetzt habe.
Es wäre super lieb, wenn du es ausrechnen könntest! *rotwerd* Ich weiß, dass ist eigentlich unverschämt, aber ich bin zur Zeit so im LK - Klausur Stress, das ich dafür immoment keinen Nerv habe und mehr Fehler mache wie alles andere. :-(
Danke Dir!
Simone
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:20 Sa 09.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Fanca
Die Forenregeln sind so, dass wir grundsätzlich KEINE HA lösen!Aber wir helfen und korrigieren! (Nebenbei arbeiten wir auch noch, und haben beliebig viel Stress)
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:05 Sa 09.09.2006 | | Autor: | Fanca |
Hallo!
Ok, dann weiß ich Bescheid!
Danke trotzdem für die Hilfe!
LG Simone
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:53 So 10.09.2006 | | Autor: | pontius |
Hi,
ich habe die Umfangsformel nach x aufgelöst und das gleiche erhalten. Nun habe ich x in die Flächengleichung eingesetzt:
A(r) = $ [mm] \frac{U-2r-\pi r}{2} [/mm] * 2r + [mm] \frac{r^{2}*\pi}{2} [/mm] $
daraus folgt:
A (r) = $ [mm] (U-2r-\pi [/mm] r) * r + [mm] \frac{r^{2}*\pi}{2} [/mm] $
1. Ableitung:
A´(r) = $ [mm] U-4r-2\pi [/mm] r + [mm] r*\pi [/mm] $
Stimmt das soweit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 So 10.09.2006 | | Autor: | M.Rex |
> Hi,
>
> ich habe die Umfangsformel nach x aufgelöst und das gleiche
> erhalten. Nun habe ich x in die Flächengleichung
> eingesetzt:
>
> A(r) = [mm]\frac{U-2r-\pi r}{2} * 2r + \frac{r^{2}*\pi}{2}[/mm]
>
> daraus folgt:
>
> A (r) = [mm](U-2r-\pi r) * r + \frac{r^{2}*\pi}{2}[/mm]
>
>
> 1. Ableitung:
>
> A´(r) = [mm]U-4r-2\pi r + r*\pi[/mm]
>
>
>
> Stimmt das soweit?
Hallo.
Leider nicht, denn in deiner Schreibweise müsstest du die Prouktregel anwenden.
Mach es dir einfacher, und löse erstmal die Klammern auf.
A(r) = [mm] (U-2r-\pi [/mm] r) * r + [mm] \bruch{r²*\pi}{2} [/mm] = Ur - 2r² - [mm] \pi [/mm] r² + [mm] \bruch{\pi r²}{2} [/mm] = Ur - 2r²- [mm] \bruch{\pi r²}{2} [/mm] = Ur - [mm] \bruch{4\red{+}\pi}{2}r²
[/mm]
Also A'(r) = U - [mm] (4-\pi)r
[/mm]
Marius
Der Fehler ist mit rot korrigiert worden
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 So 10.09.2006 | | Autor: | pontius |
Ah danke, habs nun auch raus. Nun habe ich nach r aufgelöst und folgendes erhalten:
$ [mm] r=\frac{u}{4 - \pi}$
[/mm]
Danach habe ich das nun in die Umfangsgleichung eingesetzt, jedoch ein Ergebnis erhalten, was meiner Auffassung nach falsch ist. Ich finde aber den Fehler nicht:
$ [mm] x=\frac{3u - u\pi}{2} [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:00 So 10.09.2006 | | Autor: | M.Rex |
Schreib mal deinen Rechenweg hier rein. Dann findet man den Fehler eher, der könnte nämlich auch bei mir liegen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:18 So 10.09.2006 | | Autor: | pontius |
$ A'(r) = [mm] u-(4-\pi)r [/mm] $
$ [mm] u-(4-\pi)r [/mm] = 0 $
$ r [mm] =\frac{u}{4-\pi} [/mm] $
Zu Anfang wurde bereits gesagt:
$ [mm] x=\frac{u-2r-\pi r}{2}=\frac{U-(2+\pi) r}{2} [/mm] $
Also r einsetzen:
$ [mm] x=\frac{u-(2+\pi) \frac{u}{4-\pi}}{2} [/mm] $
$ [mm] x=\frac{u-\frac{2u}{4-\pi}+\frac{u\pi}{4-\pi}}{2}$
[/mm]
$ [mm] x=\frac{u(4-\pi)-2u+u\pi}{2} [/mm] $
Und dort endet es erst mal.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:35 So 10.09.2006 | | Autor: | M.Rex |
> [mm]A'(r) = u-(4-\pi)r[/mm]
>
>
> [mm]u-(4-\pi)r = 0[/mm]
>
> [mm]r =\frac{u}{4-\pi}[/mm]
>
>
> Zu Anfang wurde bereits gesagt:
>
> [mm]x=\frac{u-2r-\pi r}{2}=\frac{U-(2+\pi) r}{2}[/mm]
>
> Also r einsetzen:
>
> [mm]x=\frac{u-(2+\pi) \frac{u}{4-\pi}}{2}[/mm]
Hier ist der Fehler: Wenn du die Minusklammer auflöst, erhältst du an der rot markierten Stelle ein Minus
[mm]x=\frac{u-\frac{2u}{4-\pi}\red{-}\frac{u\pi}{4-\pi}}{2}[/mm]
[mm]x=\frac{u(4-\pi)-2u\red{-}u\pi}{2}[/mm]
[mm] =\bruch{4u-u\pi-2u-u\pi}{2}
[/mm]
[mm] =\bruch{2u-2u\pi}{2}
[/mm]
[mm] =u-\pi
[/mm]
Bim mir ziemlich sicher bei meinen Umformungen.
Marius
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:57 So 10.09.2006 | | Autor: | pontius |
Müsste da nicht $ [mm] x=u-u\pi [/mm] $ rauskommen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:47 Mo 11.09.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hast recht, ich habe das [mm] \pi [/mm] unterschlagen.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:17 Mo 11.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Marius + Pontius
1. Pontius: immer nachrechnen, wenn wir was vorrechnen, niemand ist imun gegen Vorzeichenfehler!
2. Fehler von marius:
> Mach es dir einfacher, und löse erstmal die Klammern auf.
>
> A(r) = [mm](U-2r-\pi[/mm] r) * r + [mm]\bruch{r²*\pi}{2}[/mm] = Ur - 2r² -
> [mm]\pi[/mm] r² + [mm]\bruch{\pi r²}{2}[/mm] = Ur - 2r²- [mm]\bruch{\pi r²}{2}[/mm] =
Bis hier richtig!
> Ur - [mm]\bruch{4-\pi}{2}r²[/mm]
falsch : richtig ist :
Ur - [mm]\bruch{4+\pi}{2}r²[/mm]
Bei ner Parabel braucht man ja eigentlich keine Differentialrechnung, um den Scheitel zu finden!
[mm]A(r)=r*( U - \bruch{4+\pi}{2}r )[/mm]
Nullstellen : r=0 und [mm] r=\bruch{2U}{4+\pi}
[/mm]
Maximum in der Mitte zw. den 2 Nullstellen:
[mm] r=\bruch{U}{4+\pi}
[/mm]
Dann kommen auch vernünftige Werte für x raus.
> Also A'(r) = U - [mm](4-\pi)r[/mm]
richtig :
A'(r) = U - [mm](4+\pi)r[/mm]
Damit natürlich dasselbe max.
Nebenbemerkung: Ein Kanal ist im Allgemeinen oben offen: Ich hätte angesetzt: [mm] U=\pi*r+2x.
[/mm]
Der Rechenweg bliebe natürlich derselbe.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:59 Fr 15.09.2006 | | Autor: | Mathe00 |
Ich verstehe nciht ganz, wie man von
Ur - [mm] 2r^{2} [/mm] - [mm] \pi\*r^{2} [/mm] + [mm] \bruch{\pi\*r^{2}}{2} [/mm] zu
Ur - 2r²- [mm] \bruch{\pi\*r^{2}}{2} [/mm] kommt.
was passiert denn mit dem - [mm] \pi\*r^{2} [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:29 Fr 15.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Mathe00
Es ist wohl schon zu spät!
> Ich verstehe nciht ganz, wie man von
>
> Ur - [mm]2r^{2}[/mm] - [mm]\pi\*r^{2}[/mm] + [mm]\bruch{\pi\*r^{2}}{2}[/mm] zu
Ur - [mm]2r^{2}[/mm] - [mm]\pi\*r^{2}*{1-\bruch{1}{2})[/mm]
> Ur - 2r²- [mm]\bruch{\pi\*r^{2}}{2}[/mm] kommt.
>
> was passiert denn mit dem - [mm]\pi\*r^{2}[/mm] ?
das wird einfach von dem Summanden dahinter abgezogen, und da der halb so groß ist bleibt der halbe negativ über!
Gruss leduart
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