Komplexes Integral/Nullstellen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei P ein Polynom und [mm] \gamma [/mm] eine stückweise stetig differenzierbare, linksherum laufende Jordan-Kurve, die durch keine Nullstelle von P verläuft. Zeigen Sie, dass
[mm] n=\bruch{1}{2\pi i} \integral_{\gamma}^{}{\bruch{P'(z)}{P(z)} dz}
[/mm]
die (mit der jeweiligen Vielfachheit gewichtete) Zahl der Nullstellen innerhalb von [mm] \gamma [/mm] angibt. |
Hi
hoffe es kann mir jemand hierbei helfen.
Weiß nicht wie ich vorgehn soll, hab versucht das Polynom so zu schreiben:
p(z) = [mm] a_{0} [/mm] + [mm] a_{1}z [/mm] + [mm] a_{2}z^{2} +....+a_{n-1}z^{n-1} [/mm] + [mm] a_{n} z^{n}
[/mm]
oder laut Fundamentalsatz der Algebra:
p(z) = [mm] a_{n}(z-z_{1})(z-z{2})...(z-z_{n}) [/mm] mit [mm] z_{n} [/mm] die Nullstellen des Polynoms.
Ich denke dass es darüber irgendwie gehn muss. Vielleicht eine Partialbruchzerlegung??
Hoffe jemand kann mir weiter helfen. Danke schon mal.
Jaquy
ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:30 Do 15.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Die Faktorisierung von P ist schonmal gut.
Stelle nun damit den Quotienten P'/P dar.
Du erhälst eine Summe, die Du einfach integrieren kannst
(beachte dabei die Def. der Umlaufzahl).
FRED
PS.:eine Verallgemeinerung Deiner Aufgabe (auf meromorphe Funktionen)
heißt in der Funktionentheorie das "Argumentprinzip", schau mal in Bücher)
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hi.
hab das jetzt das ganze Wochenende so versucht, aber ich kriegs nicht hin. wenn ich den Quotienten betrachte bekomm ich den auch gar nicht zu einer Summe umgeformt wie Fred meinte. Weiß nicht wie ich da weiter vorgehen soll.hoffe jemand kann mir da helfen.
würde mich sehr freuen.
danke schön
jaquy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:23 So 18.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> hab das jetzt das ganze Wochenende so versucht, aber ich
> kriegs nicht hin. wenn ich den Quotienten betrachte bekomm
> ich den auch gar nicht zu einer Summe umgeformt wie Fred
> meinte.
doch. wenn du $f(z) = [mm] a_n(z [/mm] - [mm] z_1)(z [/mm] - [mm] z_2) [/mm] ... (z - [mm] z_n) [/mm] = [mm] a_n \prod_{j=1}^n(z [/mm] - [mm] z_j)$ [/mm] nach (iterierter) produktregel ableitest erhälst du doch $f'(z) = [mm] a_n \sum_{i=1}^n \prod_{\substack{j = 1 \\ j \not= i}}^n [/mm] (z - [mm] z_j)$. [/mm] wenn dir das nicht sofort klar ist, probiere das mal für kleine $n$, also etwa $n = 2, 3$ aus, dann wird es klarer und dir wird auch klar, wie du das beweisen kannst. wenn du dies nun in [mm] $\frac{f'(z)}{f(z)}$ [/mm] einsetzt wird sich sehr viel herauskürzen.
grüße
andreas
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