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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Komplexes Kurvenintegral
Komplexes Kurvenintegral < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Komplexes Kurvenintegral: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 01:11 So 18.11.2007
Autor: Mr.Teutone

Aufgabe
Berechnen Sie folgende Integrale:
a) [mm] \integral_{C}^{}{\bruch{dz}{z^2-4}} [/mm] , wobei C der mathematisch positiv orientierte Kreis |z-2|=2 sei.

Tach Leute

Ich hab für obige Aufgabe zwei verschiedene Ansätze, von denen mindestens einer nicht stimmen kann...

Zunächst will ich folgende Parametrisierung der Kurve C benutzen: [mm] z(t)=2e^{it}+2 [/mm] mit [mm] t\in [0,2\pi]. [/mm]

1. Ansatz:

[mm] \integral_{C}^{}{\bruch{dz}{z^2-4}}=\integral_{C}^{}{\bruch{dz}{(z+2)(z-2)}}=\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{2ie^{it}}{(2e^{it}+4)2e^{it}}dt}=\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{i}{(2e^{it}+4)}dt}=\ldots [/mm]

2. Ansatz:

[mm] \integral_{C}^{}{\bruch{dz}{z^2-4}}=\bruch{1}{4}\integral_{C}^{}{\bruch{1}{z-2}-\bruch{1}{z+2}dz}=\bruch{1}{4}\integral_{C}^{}{\bruch{1}{z-2}dz}-\bruch{1}{4}\integral_{C}^{}{\bruch{1}{z+2}dz}= [/mm]
nach Integralsatz von Cauchy:
[mm] =\bruch{1}{4}\integral_{C}^{}{\bruch{1}{z-2}dz}=\bruch{1}{4}\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{2ie^{it}}{2e^{it}}dt}=\bruch{1}{4}\integral_{0}^{2\pi}{i dt}=\ldots [/mm]

Irgendwie stimmt das alles nicht so wirklich, hab ich das Gefühl. Ich wäre dankbar, wenn mir einer nen Tipp geben kann.

        
Bezug
Komplexes Kurvenintegral: Tipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:18 So 18.11.2007
Autor: generation...x

Da die zu integrierende Funktion im Inneren des Kreises (Skizze?) eine Polstelle hat, lautet der Tipp: []Residuensatz.

Bezug
                
Bezug
Komplexes Kurvenintegral: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 11:47 So 18.11.2007
Autor: Mr.Teutone

Also dass die Funktion im Inneren der Kreisscheibe eine Polstelle hat, ist mir klar. Mit dem Residuensatz kann ich jetzt wenig anfangen. Ich bin der Meinung, das Kurvenintegral muss sich auch ohne Kenntnis von diesem berechnen lassen. Wie schauts mit meinen beiden Ansätzen aus? Komm ich da weiter oder wieso sind sie falsch?

Vielen Dank für weitere Antworten.

Bezug
                        
Bezug
Komplexes Kurvenintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:03 So 18.11.2007
Autor: generation...x

Also, wenn ich das im Kopf richtig überschlagen habe, dann kommst du mit dem Residuensatz auf das gleiche Ergebnis wie in deinem 2ten Ansatz...

Bezug
                        
Bezug
Komplexes Kurvenintegral: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:06 Di 20.11.2007
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Komplexes Kurvenintegral: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:06 Di 20.11.2007
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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