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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Komplexes Polynom
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Komplexes Polynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:40 Di 13.03.2007
Autor: ex.aveal

Hallo mal wieder :)

Man soll die Koeffizienten a,b,c und d folgenden komplexen Polynom bestimmen:

[mm] p(z)=2z^{4}+az³+bz²+cz+d [/mm]

Es sind zwei Nullstellen gegeben:
[mm] z_{1}=-1-2j [/mm]
[mm] z_{2}=3-j [/mm]


So, wenn ich nun richtig liege, und [mm] z_{1} [/mm] und [mm] z_{2} [/mm] Nullstellen sind, dann sind doch [mm] z_{1}* [/mm] also -1+2j und [mm] z_{2}* [/mm] also 3+j auch Nullstellen.

Nun kann ich das Polynom in die Linearfaktoren zerlegen, also

[mm] p(z)=2(z-z_{1})(z-z_{2})(z-z_{3})(z-z{4}) [/mm]
p(z)=2(z+1+2j)(z-3+j)(z+1-2j)(z-3-j)

Nun bleib ich aber leider hängen. Ich hab irgendwie keine Ahnung mehr wie ich jetzt weiter arbeiten muss.

Wäre dankbar um ein paar Hilfestellungen.

        
Bezug
Komplexes Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:48 Di 13.03.2007
Autor: schachuzipus


> Hallo mal wieder :)
>  
> Man soll die Koeffizienten a,b,c und d folgenden komplexen
> Polynom bestimmen:
>  
> [mm]p(z)=2z^{4}+az³+bz²+cz+d[/mm]
>  
> Es sind zwei Nullstellen gegeben:
>  [mm]z_{1}=-1-2j[/mm]
>  [mm]z_{2}=3-j[/mm]
>  
>
> So, wenn ich nun richtig liege, und [mm]z_{1}[/mm] und [mm]z_{2}[/mm]
> Nullstellen sind, dann sind doch [mm]z_{1}*[/mm] also -1+2j und
> [mm]z_{2}*[/mm] also 3+j auch Nullstellen. [ok]
>  
> Nun kann ich das Polynom in die Linearfaktoren zerlegen,
> also
>  
> [mm]p(z)=2(z-z_{1})(z-z_{2})(z-z_{3})(z-z{4})[/mm]
>  p(z)=2(z+1+2j)(z-3+j)(z+1-2j)(z-3-j) [ok]
>  
> Nun bleib ich aber leider hängen. Ich hab irgendwie keine
> Ahnung mehr wie ich jetzt weiter arbeiten muss.
>  
> Wäre dankbar um ein paar Hilfestellungen.

Hallo,

Multipliziere doch mal das ganze Teil aus und fasse dann nach Potenzen von z zusammen, so solltest du deine Koeffizienten erhalten.

Gruß

schachuzipus

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Komplexes Polynom: teilweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:52 Di 13.03.2007
Autor: Herby

Hallo,


ich würde zuerst immer nur [mm] z_i [/mm] und [mm] \overline{z_i} [/mm] multiplizieren, und danach die beiden Polynome vom Grad 2, das hat den Vorteil, dass dann das j weg ist ;-)


lg
Herby

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Komplexes Polynom: Rückfrage!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:05 Di 13.03.2007
Autor: Herby

Hi,

sag mal, der Faktor 2 steht nur vor [mm] z^4 [/mm] oder umschließt er das Polynom, denn nur dann wäre dein Ansatz mit Linearfaktoren richtig, andernfalls nicht.


lg
Herby

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Komplexes Polynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:33 Di 13.03.2007
Autor: ex.aveal

die 2 steht nur vor [mm] z^{4}. [/mm] Also stimmt der Ansatz schon oder?

Leider komm ich nicht weiter. Ich bin in diesem Thema grad ganz am Anfang, und schnall nicht wirklich, auf was man überhaupt hinaus will. Wenn mir jemadn die nächste Zeile oder ähnliches vllt hinschreiben könnte, dann find ich vllt wieder den Faden, bei mir kommt nur Schrott raus

Bezug
                        
Bezug
Komplexes Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:43 Di 13.03.2007
Autor: Herby

Hi,

> die 2 steht nur vor [mm]z^{4}.[/mm] Also stimmt der Ansatz schon
> oder?

dann ja [daumenhoch]
  

> Leider komm ich nicht weiter. Ich bin in diesem Thema grad
> ganz am Anfang, und schnall nicht wirklich, auf was man
> überhaupt hinaus will. Wenn mir jemadn die nächste Zeile
> oder ähnliches vllt hinschreiben könnte, dann find ich
> vllt wieder den Faden, bei mir kommt nur Schrott raus

ok, nehmen wir mal die beiden Nullstellen [mm] z_1=-1+2j [/mm] und [mm] z_2=-1-2j [/mm]

[mm](z-(-1+2j))*(z-(-1-2j))=(z+(1-2j))*(z+(1+2j))[/mm]

ausmultipliziert erhältst du:

[mm] z^2+(1-2j)*z+(1+2j)*z+((1-2j)*(1+2j))=z^2+1z-2jz+1z+2jz+(1^2-2^2*j^2)=z^2+2z+(1^2+2^2)=z^2+2z+5 [/mm]

damit hättest du das erste Polynom 2. Grades - nun noch das andere ermitteln und dann beide miteinander multiplizieren. Zum Schluss natürlich den Faktor 2 nicht vergessen :-)


Liebe Grüße
Herby

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Komplexes Polynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:57 Mi 14.03.2007
Autor: ex.aveal

Ah super. Komme nun auf das Ergebnis [mm] 2z^{4}-8z³+6z²-20z+100 [/mm]

das müßte stimmen, oder? Ich muss doch beim ausmultiplizieren für j²=-1 einsetzen oder?

Ich frage mich nur, warum eigentlich? Da hört es mit meinem Verständnis im Moment auf. Aber vllt komme ich da ja noch drauf.

Dankeschön auf jedenfall!

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Komplexes Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:08 Mi 14.03.2007
Autor: Herby

Moin,


> Ah super. Komme nun auf das Ergebnis
> [mm]2z^{4}-8z³+6z²-20z+100[/mm]

[daumenhoch] ja, das habe ich auch so
  

> das müßte stimmen, oder? Ich muss doch beim
> ausmultiplizieren für j²=-1 einsetzen oder?

[ok]

> Ich frage mich nur, warum eigentlich? Da hört es mit meinem
> Verständnis im Moment auf. Aber vllt komme ich da ja noch
> drauf.

zeichne dir ein Koordinatensystem mit [mm] x=y=\pm5 [/mm] auf

jetzt nimm den Punkt x=3 und multipliziere ihn mit -1, du landest bei x=-3

nun der Punkt x=2 und multipliziere ihn mit j, du landest bei y=2j - multiplizierst du 2j mit j, also 2 mit [mm] j^2, [/mm] dann landest du bei x=-2

es ist [mm] 2*j*j=2*j^2=2*(-1)=-2 [/mm]


Die Multiplikation mit j bedeutet eine Drehung im mathematisch positiven Drehsinn um den Betrag von [mm] \pi/2 [/mm] oder 90°


nun klarer?

Liebe Grüße
Herby



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