Komplexprodukt(Beweis unklar) < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:43 Mo 11.03.2013 | | Autor: | nero08 |
Hallo!
Für nicht-leere Teilmengen A,B eines Monoids (H,*) iar das Komplexprodukt defeniert als
AB={a*b| a [mm] \in [/mm] A, b [mm] \in [/mm] B}
Zeigen Sie, dass die nicht-leeren Teilmengen von H dieses Multiplikation ein Monoid bilden und bestimmen Sie die invertierbaren Elemente in diesem Monoid.
Beweis:
A,B [mm] \in [/mm] P(H)\ [mm] \emptyset [/mm] = X
zeige, dass (P(H)\ [mm] \emptyset, [/mm] *) Monoid
1.) Abgeschlossen: Sei A,B [mm] \in [/mm] X, dann gilt AB={a*b|a [mm] \in [/mm] A, b [mm] \in [/mm] B} [mm] \subseteq [/mm] X, da a*b [mm] \in [/mm] H (wieso ist a*b in H? weil es sich bei A und B um teilemgen handelt?)
2.) Assoz: A,B,C [mm] \in [/mm] X, dann gilt (AB)C= {a*b| a [mm] \in [/mm] A, b [mm] \in [/mm] B}*C = {(a*b)*c| a [mm] \in [/mm] A , b [mm] \in [/mm] B, c [mm] \in [/mm] C} = {a*(b*c)| a [mm] \in [/mm] A, b [mm] \in [/mm] B, c [mm] \in [/mm] C} = A*{b*c|b [mm] \in [/mm] B, c [mm] \in [/mm] C}= A(BC)
3.)neutr. Element: Sei E={e}, dann gilt Ae={a*e|a [mm] \in [/mm] A}= A= {ea| a [mm] \in [/mm] A}= eA
Es folt, dass es sich um ein Monoid handelt.
jetzt wird es haarig:
Wenn [mm] A\in [/mm] X ein Element enthält, dass nicht invertierbar bezgl. (H,*) ist, so gibt es kein B [mm] \in [/mm] X mit A*B=e.
Wenn alle Elemente in A invertierbar bezgl. (H,*) sind und |A| >=2, dann ist A*B=e ebenfalls nicht möglich. (wieso?)
Also sind genau alle Mengen bezgl. (X,*) invertierbar, die aus einem invertierbaren Element aus H bestehen. (auch unklar wie dies gemeint ist)
vl. kann mir jemand helfen. ich habe verscuht das bsp. mithilfe des Tutoriums zu lösen. dadurch ergeben sich auch die unklarheiten....
danke und lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:05 Di 12.03.2013 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Hallo!
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> Für nicht-leere Teilmengen A,B eines Monoids (H,*) iar das
> Komplexprodukt defeniert als
>
> [mm] AB=$\{a\*b \ | \ a \in A, b \in B\}$
[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass die nicht-leeren Teilmengen von H dieses
> Multiplikation ein Monoid bilden und bestimmen Sie die
> invertierbaren Elemente in diesem Monoid.
>
> Beweis:
>
> A,B [mm]\in[/mm] P(H)\ [mm]\emptyset[/mm] = X
> zeige, dass (P(H)\ [mm]\emptyset,[/mm] *) Monoid
>
> 1.) Abgeschlossen: Sei A,B [mm]\in[/mm] X, dann gilt [mm] AB=$\{a\*b \ | \ a \in A, b \in B \} \subseteq [/mm] $ X, da a*b [mm]\in[/mm] H (wieso ist a*b in H?
> weil es sich bei A und B um teilemgen handelt?)
Ja, und weil (H,*) ein Monoid ist, da ist die Verknüpfung a*b für a,b [mm] $\in$ [/mm] H abgeschlossen.
>
> 2.) Assoz: A,B,C [mm]\in[/mm] X, dann gilt (AB)C= [mm] $\{a\*b \ | \ a \in A, b \in B \}$*C [/mm] = [mm] $\{(a\*b)\*c \ | \ a \in A , b \in B, c \in C\}$ [/mm] =
> [mm] $\{a\*(b\*c) \ | \ a \in A, b \in B, c \in C\}$ [/mm] = [mm] A*$\{b\*c \ | \ b \in B, c \in C \}$ [/mm] = A(BC)
>
> 3.)neutr. Element: Sei E={e}, dann gilt Ae= [mm] $\{a\*e \ | \ a \in A\}$ [/mm] =
> A= [mm] $\{e\*a \ | \ a \in A \}$= [/mm] eA
Sollte man da nicht besser AE= [mm] $\{a\*e \ | \ a \in A\}= [/mm] A= [mm] \{e\*a \ | \ a \in A\}$= [/mm] EA
oder
[mm] A{e}=$\{a\*e \ | \ a \in A\}$ [/mm] = A= [mm] $\{e\*a \ | \ a \in A \}$ [/mm] = {e}A
schreiben?
>
> Es folt, dass es sich um ein Monoid handelt.
>
> jetzt wird es haarig:
>
> Wenn [mm]A\in[/mm] X ein Element enthält, dass nicht invertierbar
> bezgl. (H,*) ist, so gibt es kein B [mm]\in[/mm] X mit A*B=e.
Dann lässt sich zu diesem nicht invertierbaren Element aus A kein Inverses finden,
also A nicht invertierbar.
> Wenn alle Elemente in A invertierbar bezgl. (H,*) sind und
> |A| >=2, dann ist A*B=e ebenfalls nicht möglich. (wieso?)
Sei A = {a,b} mit a [mm] $\not=$ [/mm] b, a und b invertierbar. Sei B = {c,d} mit c Inverses zu a und d Inverses zu b.
Dann ist AB = {a*c,a*d,b*c,b*d} = {e,a*d,b*c,e} = {e,a*d,b*c} [mm] $\not=$ [/mm] {e}.
> Also sind genau alle Mengen bezgl. (X,*) invertierbar, die
> aus einem invertierbaren Element aus H bestehen. (auch
> unklar wie dies gemeint ist)
Ist a [mm] $\in$ [/mm] H invertierbar, so gibt es zu der einelementigen Menge {a}
die Menge {b} (b Inverses von a) mit {a}{b} = {b}{a} = {e}.
Also ist {a} invertierbar.
>
>
>
> vl. kann mir jemand helfen. ich habe verscuht das bsp.
> mithilfe des Tutoriums zu lösen. dadurch ergeben sich auch
> die unklarheiten....
>
> danke und lg
Gruß
meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 Di 12.03.2013 | | Autor: | nero08 |
> Hallo,
hi!
>
> > Hallo!
> >
> > Für nicht-leere Teilmengen A,B eines Monoids (H,*) iar das
> > Komplexprodukt defeniert als
> >
> > AB=[mm]\{a\*b \ | \ a \in A, b \in B\}[/mm]
> >
> > Zeigen Sie, dass die nicht-leeren Teilmengen von H dieses
> > Multiplikation ein Monoid bilden und bestimmen Sie die
> > invertierbaren Elemente in diesem Monoid.
> >
> > Beweis:
> >
> > A,B [mm]\in[/mm] P(H)\ [mm]\emptyset[/mm] = X
> > zeige, dass (P(H)\ [mm]\emptyset,[/mm] *) Monoid
> >
> > 1.) Abgeschlossen: Sei A,B [mm]\in[/mm] X, dann gilt AB=[mm]\{a\*b \ | \ a \in A, b \in B \} \subseteq[/mm]
> X, da a*b [mm]\in[/mm] H (wieso ist a*b in H?
> > weil es sich bei A und B um teilemgen handelt?)
> Ja, und weil (H,*) ein Monoid ist, da ist die Verknüpfung
> a*b für a,b [mm]\in[/mm] H abgeschlossen.
>
> >
> > 2.) Assoz: A,B,C [mm]\in[/mm] X, dann gilt (AB)C= [mm]\{a\*b \ | \ a \in A, b \in B \}[/mm]*C
> = [mm]\{(a\*b)\*c \ | \ a \in A , b \in B, c \in C\}[/mm] =
> > [mm]\{a\*(b\*c) \ | \ a \in A, b \in B, c \in C\}[/mm] = A*[mm]\{b\*c \ | \ b \in B, c \in C \}[/mm]
> = A(BC)
> >
> > 3.)neutr. Element: Sei E={e}, dann gilt Ae= [mm]\{a\*e \ | \ a \in A\}[/mm]
> =
> > A= [mm]\{e\*a \ | \ a \in A \}[/mm]= eA
> Sollte man da nicht besser AE= [mm]\{a\*e \ | \ a \in A\}= A= \{e\*a \ | \ a \in A\}[/mm]=
> EA
> oder
> A{e}=[mm]\{a\*e \ | \ a \in A\}[/mm] = A= [mm]\{e\*a \ | \ a \in A \}[/mm]
> = {e}A
> schreiben?
Dazu gab es eine Bemerkung:
Statt 1- elementiger Teilmengen schreibt man nur das entsprechende Element an, also aB statt {a}B.
Dann müsste es doch so passen.
>
> >
> > Es folt, dass es sich um ein Monoid handelt.
> >
> > jetzt wird es haarig:
> >
> > Wenn [mm]A\in[/mm] X ein Element enthält, dass nicht invertierbar
> > bezgl. (H,*) ist, so gibt es kein B [mm]\in[/mm] X mit A*B=e.
> Dann lässt sich zu diesem nicht invertierbaren Element
> aus A kein Inverses finden,
> also A nicht invertierbar.
>
> > Wenn alle Elemente in A invertierbar bezgl. (H,*) sind und
> > |A| >=2, dann ist A*B=e ebenfalls nicht möglich. (wieso?)
> Sei A = {a,b} mit a [mm]\not=[/mm] b, a und b invertierbar. Sei B =
> {c,d} mit c Inverses zu a und d Inverses zu b.
> Dann ist AB = {a*c,a*d,b*c,b*d} = {e,a*d,b*c,e} =
> {e,a*d,b*c} [mm]\not=[/mm] {e}.
>
> > Also sind genau alle Mengen bezgl. (X,*) invertierbar, die
> > aus einem invertierbaren Element aus H bestehen. (auch
> > unklar wie dies gemeint ist)
> Ist a [mm]\in[/mm] H invertierbar, so gibt es zu der einelementigen
> Menge {a}
> die Menge {b} (b Inverses von a) mit {a}{b} = {b}{a} =
> {e}.
> Also ist {a} invertierbar.
> >
> >
> >
> > vl. kann mir jemand helfen. ich habe verscuht das bsp.
> > mithilfe des Tutoriums zu lösen. dadurch ergeben sich auch
> > die unklarheiten....
> >
> > danke und lg
> Gruß
> meili
Danke für deine ANtowrt! Jetzt wurde mir vieles klarer!!!
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:04 Di 12.03.2013 | | Autor: | meili |
Hallo,
>
> Dazu gab es eine Bemerkung:
>
> Statt 1- elementiger Teilmengen schreibt man nur das
> entsprechende Element an, also aB statt {a}B.
> Dann müsste es doch so passen.
Wenn das so vereinbart ist, ist es ok so.
Gruß
meili
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