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Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - Komposition Endomorphismus
Komposition Endomorphismus < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Komposition Endomorphismus: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:38 Sa 25.04.2015
Autor: Ne0the0ne

Aufgabe
Sei V ein K-Vektorraum und f:V [mm] \to [/mm] V ein Endomorphismus von V mit
f [mm] \circ [/mm] f = f.

Zeigen Sie, dass dann V=ker(f) [mm] \oplus [/mm] im(f) gilt.

Hallo,
ich versuche mich gerade an der Aufgabe und habe auch schon ein wenig recherchiert; leider kam nichts brauchbares dabei raus.

Für Endomorphismus habe ich folgende Definition:
"Ein Endomorphismus ist ein Homomorphismus f:A→A einer mathematischen Struktur A in sich selbst."

Jetzt stehe ich erstmal vor dem Problem, überhaupt zu verstehen, was f [mm] \circ [/mm] f = f meint.

Hat da jemand einen Ratschlag für mich?

        
Bezug
Komposition Endomorphismus: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 10:51 Sa 25.04.2015
Autor: Ne0the0ne

Ich habe einen Fortschritt erzielt:

f [mm] \circ [/mm] f = f ist idempotent, also [mm] \forall v\in [/mm] V ergibt eine zweimalige Anwendung von f den gleichen Wert wie die einmalige Anwendung, also f(f(x)) = f(x)

Ich würde jetzt gerne an einem konkreten Vektorraum darstellen und würde dafür den R³ vorschlagen.

Bezug
        
Bezug
Komposition Endomorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:52 Sa 25.04.2015
Autor: fred97


> Sei V ein K-Vektorraum und f:V [mm]\to[/mm] V ein Endomorphismus von
> V mit
>  f [mm]\circ[/mm] f = f.
>  
> Zeigen Sie, dass dann V=ker(f) [mm]\oplus[/mm] im(f) gilt.
>  Hallo,
>  ich versuche mich gerade an der Aufgabe und habe auch
> schon ein wenig recherchiert; leider kam nichts brauchbares
> dabei raus.
>  
> Für Endomorphismus habe ich folgende Definition:
> "Ein Endomorphismus ist ein Homomorphismus f:A→A einer
> mathematischen Struktur A in sich selbst."

Die math. Struktur A ist hier der Vektorraum V und f ist eine lineare Abbildung.


>  
> Jetzt stehe ich erstmal vor dem Problem, überhaupt zu
> verstehen, was f [mm]\circ[/mm] f = f meint.

Das bedeutet: f(f(x))=f(x) für alle x in V.


>  
> Hat da jemand einen Ratschlag für mich?


Für x [mm] \in [/mm] V gilt x=f(x)+(x-f(x)).  Klar: f(x) [mm] \in [/mm] Im(f). Zeige: x-f(x) [mm] \in [/mm] ker(f).

Dann hast Du: V= Im(f)+ker(f).

Jetzt ist nur noch zu zeigen:  Im(f) [mm] \cap [/mm] ker(f)= [mm] \{0\} [/mm]

FRED


Bezug
                
Bezug
Komposition Endomorphismus: Idee
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:56 Sa 25.04.2015
Autor: Ne0the0ne

So langsam verstehe ich es.
Ich probiere mich mal am Beweis.
Danke fred97. :-)

Bezug
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