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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:16 So 09.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: Ist [mm] (X,\mathcal{A}) [/mm] ein meßbarer Raum, [mm] f:X\to \IR [/mm] meßbar und [mm] h:\IR\to \IR [/mm] stetig (allgemeiner: [mm] h:f(X)\to \IR [/mm] stetig), so ist [mm] h\circ f [/mm] meßbar. |
Ich möchte gerne wissen, ob folgender Beweis korrekt ist:
Man möchte die Meßbarkeit von [mm] h\circ f [/mm] zeigen, also nimmt man sich eine beliebige offene Menge, die ich [mm] \mathcal{D} [/mm] nenne.
Man muss nun zeigen, dass [mm] (h\circ f)^{-1}(\mathcal{D})=f^{-1}(h^{-1}(\mathcal{D})) [/mm] meßbar ist.
Nun ist ja n.V. h stetig und [mm] \mathcal{D} [/mm] ist offen, d.h. aber, dass [mm] h^{-1}(\mathcal{D}) [/mm] offen ist [Stetigkeit ist ja so definiert, dass Urbilder von offenen Mengen offene Mengen sind.].
Weiter gilt n.V., dass f meßbar ist. Daraus folgt, dass [mm] f^{-1}(g^{-1}(\mathcal{D})) [/mm] meßbar ist.
[mm] \Box
[/mm]
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Huhu,
ein paar Begründungen würde ich noch dazupacken.
> Man möchte die Meßbarkeit von [mm]h\circ f[/mm] zeigen, also nimmt
> man sich eine beliebige offene Menge, die ich [mm]\mathcal{D}[/mm]
> nenne.
Warum reicht es aus, eine beliebige offene Menge zu nehmen?
> Man muss nun zeigen, dass [mm](h\circ f)^{-1}(\mathcal{D})=f^{-1}(h^{-1}(\mathcal{D}))[/mm]
> meßbar ist.
Ja du hast recht, wobei ich hier beim lesen ein wenig gestolpert bin.
Die Aussage ist zwar korrekt, aber du verwendest die Begriffe "meßbar" bei einer Funktion und "meßbar" bei einer Menge in zwei Sätzen hintereinander und es meint je was anderes.
Vielleicht den Satz einfach ein wenig umformulieren.
> Nun ist ja n.V. h stetig und [mm]\mathcal{D}[/mm] ist offen, d.h.
> aber, dass [mm]h^{-1}(\mathcal{D})[/mm] offen ist [Stetigkeit ist ja
> so definiert, dass Urbilder von offenen Mengen offene
> Mengen sind.].
Man kann es auch anders definieren, aber das ist eine Definition, ja 
> Weiter gilt n.V., dass f meßbar ist. Daraus folgt, dass
> [mm]f^{-1}(g^{-1}(\mathcal{D}))[/mm] meßbar ist.
Ich vermute mal, das g ist vom Himmel gefallen und genau auf dem h gelandet!
Auch hier würde ich begründen: Was hat die Meßbarkeit von f mit einer offenen Menge zu tun?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:54 So 09.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Das ist gut, dass Du das alles erwähnst, denn als ich die Aufgabe las, war ich mir gar nicht sicher, welches "meßbar" eigentlich gemeint ist.
Manche meinen ja "Lebesgue-meßbar (also L-B-meßbar), wenn sie einfach nur "meßbar" sagen.
Andere meinen "Borel-meßbar" (also B-B-meßbar), wenn sie ungenau "meßbar" sagen.
Ich ging jetzt hier von der Lebesgue-Meßbarkeit aus. Ich habe dann aber eine beliebige offene Menge genommen, da diese in der Borel-sigma-Algebra enthalten ist und diese ist ja in der Menge der Lebesgue-meßbaren Mengen enthalten, wenn ich mich nicht irre. Das heißt: Letztendlich kann man auch die Borel-Meßbarkeit (B-B-Meßbarkeit) zeigen, weil daraus die Lebesgue-Meßbarkeit (L-B-Meßbarkeit) folgt, sehe ich das korrekt?
Ich weiß, dass andersrum NICHT gilt, dass die L-B-Meßbarkeit die B-B-Meßbarkeit impliziert. |
Mit dem g war natürlich das h gemeint.
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Huhu,
hier wird weder B-B noch L-B-mb gemeint.
Dein Urbildraum ist nämlich ein beliebiger Meßraum!
Aber lass uns in dem anderen Diskussionsstrang weitermachen...
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:01 So 09.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
> Huhu,
>
> ein paar Begründungen würde ich noch dazupacken.
>
> > Man möchte die Meßbarkeit von [mm]h\circ f[/mm] zeigen, also nimmt
> > man sich eine beliebige offene Menge, die ich [mm]\mathcal{D}[/mm]
> > nenne.
>
> Warum reicht es aus, eine beliebige offene Menge zu
> nehmen?
>
Ich denke, das reicht aus, weil die Borel-sigma-Algebra von z.B. offenen Mengen erzeugt wird und diese also enthält.
>
> > Man muss nun zeigen, dass [mm](h\circ f)^{-1}(\mathcal{D})=f^{-1}(h^{-1}(\mathcal{D}))[/mm]
> > meßbar ist.
>
> Ja du hast recht, wobei ich hier beim lesen ein wenig
> gestolpert bin.
> Die Aussage ist zwar korrekt, aber du verwendest die
> Begriffe "meßbar" bei einer Funktion und "meßbar" bei
> einer Menge in zwei Sätzen hintereinander und es meint je
> was anderes.
> Vielleicht den Satz einfach ein wenig umformulieren.
>
Gute Idee!
> > Nun ist ja n.V. h stetig und [mm]\mathcal{D}[/mm] ist offen, d.h.
> > aber, dass [mm]h^{-1}(\mathcal{D})[/mm] offen ist [Stetigkeit ist ja
> > so definiert, dass Urbilder von offenen Mengen offene
> > Mengen sind.].
>
> Man kann es auch anders definieren, aber das ist eine
> Definition, ja
>
> > Weiter gilt n.V., dass f meßbar ist. Daraus folgt, dass
> > [mm]f^{-1}(g^{-1}(\mathcal{D}))[/mm] meßbar ist.
>
> Ich vermute mal, das g ist vom Himmel gefallen und genau
> auf dem h gelandet!
> Auch hier würde ich begründen: Was hat die Meßbarkeit
> von f mit einer offenen Menge zu tun?
>
Dass f meßbar ist, bedeutet ja (eigentlich egal, ob man jetzt B-B-meßbar oder L-B-meßbar meint), dass das Urbild einer offenen Menge in der sigma-Algebra des ersten messbaren Raumes enthalten ist.
> MFG,
> Gono.
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Huhu,
> Ich denke, das reicht aus, weil die Borel-sigma-Algebra
> von z.B. offenen Mengen erzeugt wird und diese also
> enthält.
ja. Also das wichtige Argument ist hier, dass die offenen Mengen ein Erzeuger der [mm] Borel-$\sigma$-Algebra [/mm] sind.
> Gute Idee!
> Dass f meßbar ist, bedeutet ja (eigentlich egal, ob man
> jetzt B-B-meßbar oder L-B-meßbar meint), dass das Urbild
> einer offenen Menge in der sigma-Algebra des ersten
> messbaren Raumes enthalten ist.
Also wie in der anderen Antwort schon gesagt: Hier liegt weder B-B-Meßbarkeit noch L-B-Meßbarkeit vor.
Du hast in deinem Urbildraum doch weder die Borel- noch die [mm] Lebesgue-$\sigma$-Algebra [/mm] gegeben! Sondern eine nur die allgemeine [mm] $\sigma$-Algebra $\mathcal{A}$.
[/mm]
So wie die Aufgabe gestellt ist, soll f [mm] $\mathcal{A}$-$\matchal{B}$-meßbar [/mm] sein!
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 So 09.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | | Achja! Wie blöd von mir! Danke für die Erklärung! |
[Ganz unabhängig von dieser Frage würde mich trotzdem interessieren, ob Folgendes korrekt ist:]
1.) Borel-Meßbarkeit (B-B-Meßbarkeit) [mm] \Rightarrow [/mm] Lebesgue-Meßbarkeit (L-B-Meßbarkeit)
2.) Lebesgue-Meßbarkeit (L-B-Meßbarkeit) [mm] \nRightarrow [/mm] Borel-Meßbarkeit (B-B-Meßbarkeit)
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Huhu,
> [Ganz unabhängig von dieser Frage würde mich trotzdem
> interessieren, ob Folgendes korrekt ist:]
>
> 1.) Borel-Meßbarkeit (B-B-Meßbarkeit) [mm]\Rightarrow[/mm]
> Lebesgue-Meßbarkeit (L-B-Meßbarkeit)
>
> 2.) Lebesgue-Meßbarkeit (L-B-Meßbarkeit) [mm]\nRightarrow[/mm]
> Borel-Meßbarkeit (B-B-Meßbarkeit)
ja, beides ist korrekt.
Du hast doch beides schon in dem anderen Post begründet.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:50 So 09.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
Ich bedanke mich ganz herzlich bei Dir für Deine Hilfe zu dieser Aufgabe.
[Ja, ich hatte es eigentlich schon selbst begründet, aber ich vertraue meinen Begründungen meist nicht so richtig, weil ich einfach schon zu oft total daneben lag.]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:07 So 09.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
Ich will nochmal versuchen, es zu erklären.
Ich habe mittlerweile verstanden, dass f hier [mm] \mathcal{A}-\mathcal{B} [/mm]-meßbar ist.
Denn der erste messbare Raum lautet [mm] (X,\mathcal{A}) [/mm] und der zweite messbare Raum lautet [mm] (\IR,\mathcal{B}(\IR)), [/mm] so kann man aus der Aufgabenstellung rekonstruieren.
Und dann gibt es den Satz:
Eine Abb. [mm] T:S_1\to S_2 [/mm] ist meßbar [mm] \gdw T^{-1}(B)\in \mathcal{A}_1 \forall B\in \mathcal{E} [/mm] für einen Erzeuger [mm] \mathcal{E} [/mm] der [mm] \sigma-Algebra \mathcal{A}_2.
[/mm]
Hiermit ist klar, dass es ausreicht, eine offene Menge [mm] \mathcal{D} [/mm] zu betrachten, denn die offenen Mengen erzeugen die [mm] Borel-\sigma-Algebra.
[/mm]
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