Komposition von Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:14 Mo 12.11.2007 | | Autor: | thb |
| Aufgabe | 1. Seien f,g,: A [mm] \rightarrow [/mm] B, h: B [mm] \rightarrow [/mm] C Abbildungen mit h injektiv. Ist h°f=h°g, so ist f=g (Hinweis: f=g genau dann, wenn f(a)=g(a) für alle a aus A.
2. Seien f,g: A [mm] \rightarrow [/mm] B, h: C [mm] \rightarrow [/mm] A Abbildungen mit h surjektiv. ISt g°h=g°h, so ist f=g. |
Hallo ich brauche dringend Eure Hilfe. Mir fehlt der Ansatz...
Bei erstens habe ich mir folgendes überlegt:
h ist injektiv: Sind b1,b2 ein beliebige Elemente aus B mit h(b1)=h(b2). Daraus folgt, dass b1=b2 sein muss. Wie aber komme ich nun weiter zu A. Da gibt es doch zwei Wege: einmal kann b1 bzw. b2 f(a1)=b1 bzw. b2 sein oder auch g(a1)=b1 bzw b2 sein. Außerdem kann es ja auch kein a mit f(a)= b1 bzw. b2 geben. Oder sollte ich mich mehr direkt um die Kompositionen h°f bzw. h°g kümmern? Das sind doch eigentlich keine reine Hintereinanderausführungen - f und g geht ja quasi parallel von A nach B!?
Ich komm' einfach nicht weiter.
Liebe Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> 1. Seien f,g,: A [mm]\rightarrow[/mm] B, h: B [mm]\rightarrow[/mm] C
> Abbildungen mit h injektiv. Ist h°f=h°g, so ist f=g
> (Hinweis: f=g genau dann, wenn f(a)=g(a) für alle a aus A.
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> 2. Seien f,g: A [mm]\rightarrow[/mm] B, h: C [mm]\rightarrow[/mm] A
> Abbildungen mit h surjektiv. ISt g°h=g°h, so ist f=g.
> Bei erstens habe ich mir folgendes überlegt:
> h ist injektiv: Sind b1,b2 ein beliebige Elemente aus B
> mit h(b1)=h(b2). Daraus folgt, dass b1=b2 sein muss.
Hallo,
damit ist das Wichtigste bereits gesagt, und Du bist nahezu fertig.
Paß auf:
Es sei h°f=h°g.
Zwei Funktionen sind gleich, wenn sie an allen Stellen gleich sind. Also folgt:
Für alle [mm] a\in [/mm] A ist (h°f)(a)=(h°g)(a)
==>Für alle [mm] a\in [/mm] A ist h(f(a))=h(g(a))
Nun kannst Du die Injektivität von h ins Feld führen.
Vielleicht schaffst Du die (2) jetzt allein.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:54 Mo 12.11.2007 | | Autor: | thb |
Tja, dann folgt aus h(f(a))=h(g(a), da ja h injektiv ist, dass f(a)=g(a) sein muss. Kann es das etwa schon sein???
Gruß und Danke
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> Tja, dann folgt aus h(f(a))=h(g(a), da ja h injektiv ist,
> dass f(a)=g(a) sein muss. Kann es das etwa schon sein???
Ja, so einfach ist das.
Wichtig ist, daß das tatsächlich für alle [mm] a\in [/mm] A gilt, denn daraus folgt dann ja f=g.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:22 Mo 12.11.2007 | | Autor: | thb |
Okay, alles bestens.
Dei der zweiten Aufgabe bin ich auf folgendes gekommen:
analog (wie der Mathematiker gerne sagt) gilt ja:
für alle c [mm] \in [/mm] C gilt (f°h)(c)=g°h(c) bzw. f(h(c))=g(h(c)).
Da h surjektiv ist gilt für alle a [mm] \in [/mm] A gibt es ein c mit h(c)=a.
Dann ist also: f(a)=g(a).
Na ja - wares das ;~))
Viele Grüße.
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