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Hallo Leute,
Ich würde gerne wissen, ob meine Lösung zu folgender Aufgabe richtig ist, und ob man das Ganze nicht noch etwas kürzer formulieren könnte?
Aufgabe:
Es seien $g := [mm] \left(B,G,C\right)$ [/mm] und $f = [mm] \left(A,F,B\right)$ [/mm] zwei partielle Funktionen. Zeige:
Die Komposition $g [mm] \circ [/mm] f = [mm] \left(A,G \circ F,C\right)$ [/mm] mit $G [mm] \circ [/mm] F := [mm] \left\{ \left(a,c\right) \in A \times C\;|\;\exists b \in B: \begin{array}{cc}{}&\left(a,b\right) \in F \\ \land & \left(b,c\right) \in G \end{array} \right\}$ [/mm] ist wieder eine partielle Funktion.
Beweis:
Sei $x [mm] \in [/mm] A$ beliebig. Nach Definition ist $F [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \times [/mm] B$ rechtseindeutig. Also [mm] $\exists$ [/mm] höchstens ein $b [mm] \in [/mm] B$ mit [mm] $\left(x,b\right) \in [/mm] F$. Es gibt also 2 Fälle:
(1) Ein solches $b$ existiert. Dann gibt es nach Definition genau ein solches $b$. Da $G$ nach Definition rechtseindeutig ist, existiert zu diesem $b$ höchstens ein $c$ mit [mm] $\left(b,c\right) \in [/mm] G$. Damit gibt es aber auch zu $x$ höchstens ein solches $c$ mit [mm] $\left(x,c\right) \in [/mm] G [mm] \circ [/mm] F$.
(2) Ein solches $b$ existiert nicht. Da $G$ nach Definition rechtseindeutig ist, existiert zu $b$ höchstens ein $c$ mit [mm] $\left(b,c\right) \in [/mm] G$. Da es aber kein $b$ gibt, gibt es dazu auch kein $c$. Damit gibt es zu diesem $x [mm] \in [/mm] A$ kein $c [mm] \in [/mm] C$ mit [mm] $\left(x,c\right) \in [/mm] G [mm] \circ [/mm] F$.
Die Fälle (1) und (2) zusammen bedeuten: Zu einem beliebigen $x [mm] \in [/mm] A$ gibt es entweder genau ein $c [mm] \in [/mm] C$ oder gar keines. Das aber ist die Definition der Rechtseindeutigkeit. Also ist $G [mm] \circ [/mm] F$ eine rechtseindeutige Relation. Da [mm] $\left(A,G \circ F, C\right)$ [/mm] zudem ein Tripel ist, ist $g [mm] \circ [/mm] f$ eine partielle Funktion. [mm] $\square$
[/mm]
Stimmt das so? Und wie könnte man das kürzer machen?
Danke!
Grüße
Karl
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Hallo,
also ich finde deinen Beweis einleuchtend und plausibel und wüsste jetzt keine Stelle, an der man kürzen könnte. Die Fallunterscheidung scheint notwendig und vielmehr hast du ja auch nicht geschrieben.
VG
mathmetzsch
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