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Hi!
Ich habe eine Reihenschaltung mit der Eingangsspannung [mm] U_{e}, [/mm] in der ein Widerstand R und ein Kondensator C geschaltet ist. [mm] U_{a} [/mm] ist die Spannung über (also parallel gemessen) C.
Jetzt will ich [mm] U_{a} [/mm] als Funktion von [mm] U_{e} [/mm] darstellen. Ich hab mal gesammelt, was mir als (als Physikanfänger) für die Aufgabenstellung gegeben wurde:
a) Die Summe aller Ströme an einem Knoten ist 0.
b) Die Summe aller Spannungen bei einem geschlossenen Umlauf ist 0.
c) Der Strom in einem Kondensator: i = C du/dt
oder in Worten:
der Strom in einen Kondensator ist proportional zur Spannungsänderung (am Kondensator).
d) Die Kapazität C eines Kondensators = Ladung/Spannung = Q/U
Außerdem weiß ich, dass laut Ohmschem Gesetz gilt: [mm] U_{a}=R [/mm] * [mm] I_{a}
[/mm]
jetzt wandele ich um: [mm] U_{a}=R*C [/mm] du/dt = [mm] R*(Q/U_{a}) [/mm] du/dt [mm] \Rightarrow U_{a}=\wurzel[]{R*Q du/dt}
[/mm]
Tjo, so richtig weiter komme ich mit der Aufgabe aber nicht... Was soll ich nun mit der Ableitung und der Ladung tun, oder ist mein Ansatz eh falsch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:35 Sa 10.04.2010 | | Autor: | Calli |
Hey, Du hast ja schon alles Wesentliche !
Zur Lösung musst Du hier die Sätze b) und c) einschließlich des OHMschen Gesetzes anwenden.
Versuch es mal und poste Deine Ergebnisse !
Ciao Calli
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Hi Calli,
ich hab mich mal an deinem Tipp orientiert - ab einem Punkt komme ich aber einfach nicht auf etwas einfacheres mehr:
wegen a) gilt: [mm] U_{a}=U_{e}-U_{r} (U_{r} [/mm] ist der Wid. an R)
so jetzt muss ich nur noch [mm] U_{r} [/mm] durch [mm] U_{e} [/mm] darstellen, dann hab ich die Aufgabe gelöst.
[mm] U_{a}=U_{e}-R*I [/mm] (wobei überall also auch an R und C der Strom I fließt, deshalb gilt:)
[mm] U_{a}=U_{e}-R*C*\bruch{du}{dt}
[/mm]
Aber ihr sehr, es wird nur noch unübersichtlicher...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:35 Sa 10.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast schon die richtige Idee. Nur hast du nicht erkannt, dass du eigentlich ne Differentialgleichung hast:
[mm] U_R*U_C+U_e=0 U_R=R*I U_c=Q/C [/mm]
[mm] R*I+Q/C+U_e=0
[/mm]
differenzieren:
R*I'+Q'/C=0
R*I'+I/C=0
I'=-1/RC*I
das ist eine DGL für die funktion I(t) ('=Ableitung nach der Zeit)
die Lösung ist [mm] I=A*e^{-1/RC*T}
[/mm]
A bestimmt sich aus [mm] I(0)=U_e/R
[/mm]
[mm] U_C [/mm] kannst du daraus bestimmen .
Oder du nimmst deine Gleichung:
$ [mm] U_{a}=U_{e}-R\cdot{}C\cdot{}\bruch{du}{dt} [/mm] $
und schreibst sie als: [mm] U'=-1/RC*U+U_e
[/mm]
wieder die DGL lösen. [mm] U=U_e(1-e^{-1/RC*t})
[/mm]
Du musst dich dran gewöhnen, dass zeitliche vorgänge meist durch DGL beschrieben werden müssen)
Gruss leduart
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Erst mal vielen Dank für deine Antwort! Leider gibts da einige Sachen, die ich nicht verstehe (wobei ich auch finde, das die Aufgabenstellung eher was für e-technik-studenten ist...):
> Hallo
> Du hast schon die richtige Idee. Nur hast du nicht
> erkannt, dass du eigentlich ne Differentialgleichung hast:
> [mm]U_R*U_C+U_e=0 U_R=R*I U_c=Q/C[/mm]
> [mm]R*I+Q/C+U_e=0[/mm]
> differenzieren:
> R*I'+Q'/C=0
Wieso hast du jetzt C nicht auch differenziert? Die Kapazität des Kondensators ist doch auch von der Zeit abhängig? Und auch [mm] U_e [/mm] ist doch von der Zeit abhängig und fällt deshalb nicht einfach weg?
> R*I'+I/C=0
das verstehe ich nicht. wenn ich das mit deiner letzten Gleichung vergleiche, hieße das ja, dass Q' = I und wieso sollte das so sein?
> I'=-1/RC*I
Sorry, hier weiß ich nicht, wo du das her hast. Hast du das aus den vorherigen Gleichungen?
> das ist eine DGL für die funktion I(t) ('=Ableitung nach
> der Zeit)
> die Lösung ist [mm]I=A*e^{-1/RC*T}[/mm]
Ich hab mal versucht selber die Lösung zu bestimmen und komme da auf was anderes:
Laut deiner dritten Gleichung gilt: [mm] I'=\bruch{-1}{RC}*I \gdw I=-I'*R*C\gdw I=\bruch{1}{C}*C=1
[/mm]
Wegen dieser Fragen, habe ich hier erst mal aufgehört, zu versuchen, deine restliche Ausführung zu verstehen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 Sa 10.04.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo Bit2_Gosu,
augenscheinlich fehlen Dir eine ganze Menge elektrotechnischer Grundkenntnisse, wobei dies kein Vorwurf sein soll, denn ich weiss nicht, wie Dein Background auf diesem Gebiet ist.
Leduart hat mit Maschen- und Knotengleichungen Dir unterschiedliche Lösungswege gezeigt. Der übliche bei so einer Aufgabe, da alle Bauelemente in Reihe liegen, ist ein Ansatz über eine Maschengleichung und Du bekommst
$$ [mm] U_a [/mm] = [mm] U_e [/mm] - IR [mm] \, [/mm] . $$
Der Strom I, der der zeitlichen Änderung der Ladung entspricht, also wirklich [mm] Q^{'} = I [/mm] fließt durch den Kondensator aber auch durch den Widerstand.
Mit
$$ I = C [mm] \bruch{dU_a}{dt}$$ [/mm] bekommt man also
$$ [mm] U_a [/mm] = [mm] U_e [/mm] - RC [mm] \bruch{dU_a}{dt} [/mm] $$ und diese DGL ist zu lösen.
Mit Deinem
$$ [mm] U_{a}=U_{e}-R\cdot{}C\cdot{}\bruch{du}{dt} [/mm] $$
warst Du schon nahe dran, aber Du hast nicht erkannt, dass Deine Spannung u die gesuchte Ausgangsspannung Ua ist.
Übrigens, die Kapazität eines Kondensators ist konstant, seine Ladung verändert sich jedoch.
Versuche erst mal Deine Gedanken zu sortieren.
Viele Grüße,
Infinit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:46 Sa 10.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
weisst du denn was eine differentialgleichung ist?
es scheiint, du hast nicht verstanden, dass
I'(t)=-1/RC*I(t) keine Geleichung für eine Stromwert, sondern sagt: I(t) ist eine Funktion, deren Ableitung wieder die Funktion ergibt , bis auf eine Konstante (hier -1/RC
Wenn du in dem riesigen Vorrat der dir bekannten funktionen suchst, findest du nur ein, die das tut.
du solltest wissen: [mm] f(x)=C*e^{ax} [/mm] dann ist [mm] f'(x)=a*Ce^{ax}
[/mm]
also wird die Differentialgleichung (nicht Gleichung) f'(x)=a*f(x) a=const von [mm] f(x)=C*e^{ax} [/mm] gelöst
Bei dir statt x t, statt F(x) dann I(t), und a=-1/RC
Gruss leduart
PS
aktualisier doch bitte dein Profil, oder bist du noch im Gymnasium Klasse 13?
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Ahh, ich hab jetzt eine Menge verstanden. Ich bin übrigens Informatikstudent und hatte in der Schule Physik bis zur 8ten ;)
> die Lösung ist [mm]I=A*e^{-1/RC*T}[/mm]
> A bestimmt sich aus [mm]I(0)=U_e/R[/mm]
Bis hierhin hab ich jetzt alles verstanden (denke ich). Jetzt wo wir I in Abhängigkeit von t dargestellt haben, müssen wir ja noch die eigentliche Aufgabe lösen. Ich sage also [mm] U_c=Q/C=\bruch{I*t}{C}=\bruch{U_e}{R*C}*t*e^{-1/RC*T}
[/mm]
Jetzt steht aber in meiner Aufgabenstellung, ich soll [mm] U_c (=U_a) [/mm] in Abhängigkeit von [mm] U_e [/mm] darstellen. Nur ist doch [mm] U_e [/mm] konstant ?! Denn wir haben ja wohl eine Spannungsquelle, die immer die Eingansspannung [mm] U_e [/mm] liefert, während der Strom sich mit der Zeit ändert (wir haben ja eine Gleichung für I(t) aufgestellt).
Und was wir jetzt gemacht haben, ist ja [mm] U_c [/mm] in Abhängigkeit von t darstellen [mm] (U_e [/mm] kommt als Konstante in unserer Gleichung vor). Erfüllt das wirklich die Aufgabenstellung?
> und schreibst sie als: [mm]U'=-1/RC*U+U_e[/mm]
> wieder die DGL lösen. [mm]U=U_e(1-e^{-1/RC*t})[/mm]
Noch aus Neugierde hierzu eine Frage. Wenn ich dieses U nach t differenziere, dann erhalte ich aber [mm] U_e*(1/RC)*e^{-1/RC*t}\not=-1/RC*U+U_e
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:09 So 11.04.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo Bit2_Gosu,
vergegenwärtige Dir bitte, dass dies hier Differentialgleichungen sind und Du demzufolge die Lösungsfunktion einsetzen musst, um zu überprüfen, ob die Lösung okay ist. Dass die Eingangsspannung hier konstant ist, ist nicht weiter schlimm, beim Ableiten nach der Zeit fällt dann so ein Term raus.
Kommen wir noch mal zu den Gleichungen, die wir haben. Wir gingen von der DGL aus
$$ [mm] U_a [/mm] = [mm] U_e [/mm] - RC [mm] \bruch{dU_a}{dt} [/mm] $$ und bekamen dafür die Lösung
$$ [mm] U_a [/mm] = [mm] U_e [/mm] (1 - [mm] e^{-\bruch{1}{RC} t}) [/mm] $$
Um zu überprüfen, ob diese Lösung stimmt, leiten wir diese Gleichung einmal nach der Zeit ab:
$$ [mm] \bruch{dU_a}{dt} [/mm] = [mm] \bruch{U_e}{RC} e^{-\bruch{1}{RC} t} [/mm] $$
Diese beiden Gleichungen in die ursprüngliche DGL eingesetzt, muss auf beiden Seiten der DGL die gleichen Terme geben, sonst ist es keine Lösung.
Also:
$$ [mm] U_e [/mm] (1 - [mm] e^{-\bruch{1}{RC} t}) [/mm] = [mm] U_e [/mm] - RC [mm] \cdot \bruch{U_e}{RC} e^{-\bruch{1}{RC} t} [/mm] $$
und tatsächlich, das stimmt.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:00 So 11.04.2010 | | Autor: | Bit2_Gosu |
Mensch, ich habs jetzt dank euch verstanden! Vielen Dank euch allen!
Ich werd mich wohl demnächst mal mit dem Lösen von Differentialgleichungen beschäftigen müssen, denn das hatten wir nie. Das scheint ganz schön kompliziert zu sein (hab schon mal gegoogelt), wenn da noch eine Konstante mit drin ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:14 So 11.04.2010 | | Autor: | Infinit |
Na, das ist ja prima. Die meisten DGLen kann man mit den Ansätzen über eine e-Funktion recht gut lösen, es gibt aber auch fiese Gleichungen, die nur numerische Verfahren zulassen.
Wenn man will, kann man sich damit ein ganzes Leben lang beschäftigen.
Viele Grüße und einen schönen Sonntag,
Infinit
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