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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:16 Fr 30.12.2011 | | Autor: | dar |
| Aufgabe | Gegeben: ein idealer Plattenkondensator mit 2 Dielektrika (Serienschaltung). Die Ladung Q = 0,001 C wird konstant gehalten.
A = 0,1 [mm] m^{2}
[/mm]
[mm] \varepsilon_{r1} [/mm] = 2
[mm] \varepsilon_{r2} [/mm] = 1
d = 0,001 m (Dicke [mm] \varepsilon_{r2})
[/mm]
c = 0,002 m (Dicke [mm] \varepsilon_{r1})
[/mm]
Abstand zwischen den Platten = c+d
Berechnen: mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Verschiebung
die Kraft und die mech Spannung auf die Trennfläche zwischen den 2 Dielektrika durch E1 und E2. |
Hallo!
Erstmal wünsche ich allen einen Guten Rutsch und alles Gute im neuen Jahr :)
Und wie auch immer bleibe ich bei einer Aufgabe auf dem Schlauch stehen.
Hoffe auf Eure Hilfe. Vielleicht findet jemand Zeit dafür.
Für die Kraft: die Kraft wird mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Verschiebung hergeleitet. Wir halten die Ladung konst, d. h. Kondensator wird nicht angeschaltet. Wir kommen auf F = - dW/dx = [mm] Q^{2}/(2*\varepsilon*A) [/mm] = [mm] Q^{2}/(2*C*(c+d)) [/mm]
(???Soll ich hier c+d schreiben, also den Abstand zwischen den Platten oder c und d separat betrachten, wenn ja dann wie??)
An Reihe: 1/C = C1*C2/(C1+C2) = [mm] c/(\varepsilon_{r1}*\varepsilon{0}*A)+d/ (\varepsilon_{r2}*\varepsilon{0}*A) [/mm] = [mm] \varepsilon_{r1}*\varepsilon_{r2}*\varepsilon{0}*A/(c*\varepsilon_{r2}+d*\varepsilon_{r1}) [/mm] = Einstzen = [mm] 4,43*10^{-10}
[/mm]
Dann F = (0,001 [mm] C)^{2}/(2*4,43*10^{-10}*0,003m) [/mm] = [mm] 3,76*10^{5} [/mm] N
mech Spannung: mein Problem ist wie ich das durch E1 und E2 machen kann?
Ich habe 2 Ansätze: an der Grenzfläche gilt E1/E2 = [mm] \varepsilon_{r2}/\varepsilon_{r1} [/mm] und E = U/(c+d)
Man könnte vielleicht [mm] \vec{E} [/mm] = [mm] \vec{F}/Q [/mm] = [mm] 3,76*10^{5} [/mm] N/0,001 C = [mm] 3,76*10^{8} [/mm] V/m
(E und F sind gleichgerichtet, deswegen kann man die Vektoren weglassen - kann man so erklären??)
Dann U = E*(c+d) = 3,76 [mm] *10^{8} [/mm] V/m * 0,003m = [mm] 11,28*10^{5} [/mm] V/m
?Ist das die gesuchte mech Spannung auf die Trennfläche zwischen den 2 Dielektrika? Ich verstehe den Unterschied zwischen der Spannung auf die Trennfläche und zB auf die Platte nicht.
Ist der Rechnungsweg richtig?
Danke für jede Hilfe,
Dar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:27 Sa 31.12.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo Dar,
was Du da berechnet hast, verstehe ich nicht, und ich glaube, Du auch nicht.
Beim Prinzip der virtuellen Verschiebung geht man davon aus, dass sich die Trennfläche zwischen den beiden Dielektrika um einen bestimmten Weg verschiebt und man berechnet nun die hierfür notwendige mechanische Energie sowie die Änderung der elektrischen Energiedichte in den beiden Dielektrika. Salopp gesprochen, muss die Feldstärke E2 auf den Wert E1 wieder gebracht werden in einem bestimmten Volumengebiet, das durch die Verschiebung um eine Strecke [mm] \Delta x [/mm] entstanden ist und um herauszufinden, welche Komponenten sich da wie verhalten, betrachtet man Umlaufintegrale um diese Trennfläche herum. Die Rechnung ist nicht sehr komplex, aber aufwendig, da man sauber die elektrische Feldstärke und die Erregung in Normal- und Tangentialkomponenten zerlegt, die sich an solch einer Trennfläche unterschiedlich verhalten. Die Tangentialkomponente der elektrischen Feldstärke ändert sich nicht, die Normalkomponente schon. Hieraus resultiert eine Kraft auf diese Trennfläche, die meistens in Form eines Drucks angegeben wird. In meinem kleinen Taschenbuch zur Einführung in die E-Technik ist dies über gut 15 Seiten sauber hergeleitet. Nach einigem Rechnen kommt man auf eine Größe [mm] \sigma [/mm], die den Druck auf diese Trennfläche bezeichnet und diese ist
[mm] \sigma = \bruch{1}{2} (\epsilon_1 - \epsilon_2) \vec{E_1} \cdot \vec{E_2} [/mm]
Die mechanische Spannung hat nichts mit der elektrischen zu tun, die Du angesetzt hast. Sie entspricht genau dem von mir oben angegebenen Druck, es ist eine Kraft pro Flächeneinheit und damit ist wohl auch klar, wie die Kraft zu berechnen ist.
Viele Grüße,
Infinit
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Na ja, das kann man aber auch auf weniger als 15 Seiten relativ einfach herleiten (allerdings nicht vektoriell):
Wir stellen uns vor, dass der Kondensator links mit +Q aufgeladen ist, zunächst das Dielektrikum mit [mm] \epsilon_1 =\epsilon_0*\epsilon_r_1, [/mm] dann das Dielektrikum mit [mm] \epsilon_2 =\epsilon_0*\epsilon_r_2 [/mm] und dann die rechte Platte mit -Q kommt. Nun wird die Trennfläche vorübergehend in Gedanken durch eine Alufolie, auf der noch einmal links die Ladung -Q und rechts +Q durch Influenz getrennt vorliegen. Dann haben wir links einen Kondensator mit der Energie [mm] \bruch{1}{2}\bruch{Q^2}{C_1}=\bruch{1}{2}\bruch{Q^2c}{A\epsilon_1}. [/mm] Entsprechend hat der rechte Teil(-Kondensator) die Energie [mm] \bruch{1}{2}\bruch{Q^2d}{A\epsilon_2}.
[/mm]
Verschiebt man nun virtuell die Alufolie ein bisschen nach rechts um dx, so ändern sich auch c und d: dc=dx und dd=-dx.
Die Kraft ist nun die Ableitung der Energie nach der x-Komponente:
[mm] F=\bruch{dW}{dx}=\bruch{d}{dc}(\bruch{1}{2}\bruch{Q^2c}{A\epsilon_1})-\bruch{d}{dd}(\bruch{1}{2}\bruch{Q^2d}{A\epsilon_2})=\bruch{1}{2}\bruch{Q^2}{A\epsilon_1}-\bruch{1}{2}\bruch{Q^2}{A\epsilon_2}=\bruch{1}{2}\bruch{Q^2}{A}(\bruch{1}{\epsilon_1}-\bruch{1}{\epsilon_2})=\bruch{A}{2}\bruch{Q}{A}\bruch{Q}{A}(\bruch{1}{\epsilon_1}-\bruch{1}{\epsilon_2})=
[/mm]
[mm] \bruch{A}{2}\epsilon_1E_1\epsilon_2E_2(\bruch{1}{\epsilon_1}-\bruch{1}{\epsilon_2})=\bruch{A}{2}E_1E_2(\epsilon_2-\epsilon_1)
[/mm]
Teilt man dies wieder durch A, so erhält man den Druck.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:13 Sa 31.12.2011 | | Autor: | GvC |
Laut Aufgabenstellung handelt es sich um einen Plattenkondensator mit normalgeschichtetem Dielektrikum. Da kann man die Tangentialkomponenten der Feldstärken getrost vergessen, es gibt nämlich keine.
Dann wird die Berechnung auch besonders anschaulich: Vor der Verschiebung war in dem Verschiebungsvolumen dV=A*dx die Energie [mm] W_1 [/mm] gespeichert, nach der Verschiebung die Energie [mm] W_2. [/mm] Die Differenz dieser beiden Energien ist gleich dem Arbeitsaufwand [mm]F*dx[/mm], der für die Verschiebung um dx notwendig war.
[mm]dW=W_2-W_1=F*dx[/mm]
Die im Feld gespeicherte Energie lässt sich ausdrücken als Produkt aus Energiedichte und Volumen:
[mm]W_1=w_1*dV[/mm]
[mm]W_2=w_2*dV[/mm]
[mm]F*dx=(w_2-w_1)*dV=(w_2-w_1)*A*dx[/mm]
Da lässt sich dx kürzen
[mm]F=(w_2-w_1)*A[/mm]
mit
[mm]w=\frac{1}{2}*E*D=\frac{1}{2}\frac{D^2}{\epsilon}[/mm]
Die Verschiebungsdichte D ist in beiden Dielektrika dieselbe und bleibt wegen konstanter Ladung auch bei der Verschiebung konstant.
[mm]w_1=\frac{1}{2}\frac{D^2}{\epsilon_1}[/mm]
[mm]w_2=\frac{1}{2}\frac{D^2}{\epsilon_2}[/mm]
[mm]\Rightarrow\qquad w_2-w_1=\frac{1}{2}D^2\left( \frac{1}{\epsilon_2}{-\frac{1}{\epsilon_1}\right) [/mm]
Wegen [mm]D=\epsilon *E[/mm] lässt sich [mm] D^2 [/mm] auch schreiben als
[mm]D^2=\epsilon_1*E_1*\epsilon_2*E_2[/mm]
Einsetzen:
[mm]\Rightarrow\qquad w_2-w_1=\frac{1}{2}*\epsilon_1*E_1*\epsilon_2*E_2*\left( \frac{1}{\epsilon_2}{-\frac{1}{\epsilon_1}\right) =\frac{1}{2}*E_1*E_2(\epsilon_1-\epsilon_2)[/mm]
Und demzufolge
[mm]F=\frac{1}{2}(\epsilon_1-\epsilon_2)*E_1*E_2*A[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:25 Sa 31.12.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo HJKweseleit, hallo GvC,
da sieht man doch mal wieder, dass viele Wege nach Rom führen, auch wenn man sich nur mit Hilfe einer virtuellen Verschiebung dorthin begibt 
Viele Grüße und einen guten Rutsch,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:52 So 01.01.2012 | | Autor: | dar |
Hallo Infinit, HJKweseleit und GvC,
Alles Gute wünsche ich Euch im neuen Jahr. Danke, dass Ihr die Zeit für meine Frage gefunden habt. Muss zugeben, hatte selbst nicht ganz verstanden, was ich da gerechnet habe. Jetzt komme ich klar.
Grüße,
Dar
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