Kondensator und Magnetfeld < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:09 Mi 10.10.2012 | | Autor: | adefg |
| Aufgabe | | Ein dickes Kabel mit Radius a trage einen konstanten Strom I homogen auf das Kabel verteilt. Im Kabel sei eine kleine Lücke der Breite w << a, diese bilde einen Plattenkondensator. Wie verhält sich das Magnetfeld in der Lücke? |
Hallo, ich komme mit obiger Aufgabe nicht so recht weiter. Ich habe überlegt, dass man mit der 4. Maxwell-Gleichung [mm] $\nabla\times\vec [/mm] B = [mm] -\frac{1}{c}\frac{\partial\vec E}{\partial t} [/mm] + [mm] \frac{4\pi}{c} \vec [/mm] j$ ansetzen könnte, kam damit aber nicht so richtig weiter.
Ich habe integriert und er halten [mm] $\int\vec [/mm] B ds = [mm] \frac{1}{c}\int \frac{\partial\vec E}{\partial t} [/mm] dA + [mm] \frac{4\pi}{c}\int \vec [/mm] j dA$.
Wegen des kreisförmigen Querschnitts habe ich links stehen [mm] $\int \vec [/mm] B ds = [mm] 2\pi a \vec [/mm] B$ und wegen [mm] $I=\int \vec [/mm] j dA$ kann ich den zweiten Summanden rechts schreiben als [mm] $\frac{4\pi}{c} \cdot [/mm] I$.
Was mach ich dann aber mit dem Integral über der Zeitableitung von E? Stimmt mein Ansatz überhaupt?
Vielleicht kann ja mal wer drüberschauen. Danke!
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Hallo!
> Ein dickes Kabel mit Radius a trage einen konstanten Strom
> I homogen auf das Kabel verteilt. Im Kabel sei eine kleine
> Lücke der Breite w << a, diese bilde einen
> Plattenkondensator. Wie verhält sich das Magnetfeld in der
> Lücke?
> Hallo, ich komme mit obiger Aufgabe nicht so recht weiter.
> Ich habe überlegt, dass man mit der 4. Maxwell-Gleichung
> [mm]\nabla\times\vec B = -\frac{1}{c}\frac{\partial\vec E}{\partial t} + \frac{4\pi}{c} \vec j[/mm]
> ansetzen könnte, kam damit aber nicht so richtig weiter.
> Ich habe integriert und er halten [mm]\int\vec B ds = \frac{1}{c}\int \frac{\partial\vec E}{\partial t} dA + \frac{4\pi}{c}\int \vec j dA[/mm].
Nun, du solltest schon die verwendeten Integrale hinreichend unterscheiden. Konkret hat lautet das Durchlutungsgesetz
(1) [mm] \integral_{\partial{A}}^{}{\vec{H}*d\vec{s}}=\integral_{A}^{}{\vektor{\bruch{\partial}{\partial{t}}\vec{D}+\vec{J}}}.
[/mm]
Links steht, wie du bereits richtig erkannt hast, ein geschlossenes Randkurvenintegral. Auf der rechten Seite steht hingegen ein Flächenintegral.
> Wegen des kreisförmigen Querschnitts habe ich links stehen
> [mm]\int \vec B ds = 2\pi a \vec B[/mm]
Angepasst an die vorliegende Problemstellung ergibt sich aus Gleichung (1) zunächst für die linke Seite
(2) [mm] \integral_{\varphi=0}^{2\pi}{H_{\varphi}(\varrho=a)\vec{e}_{\varphi}*\vec{e}_{\varphi}}\varrho{d\varphi}=2\pi{a}H_{\varphi}.
[/mm]
Der Faktor [mm] H_{\varphi} [/mm] auf der rechten Seite von Gleichung (2) ist nun aber ein Skalar und nicht etwa ein Vektor.
> und wegen [mm]I=\int \vec j dA[/mm]
> kann ich den zweiten Summanden rechts schreiben als
> [mm]\frac{4\pi}{c} \cdot I[/mm].
Das würde ich vielleicht noch einmal überdenken. Welcher elektrische Strom fließt denn üblicherweise zwischen den Platten eines Kondensators?
> Was mach ich dann aber mit dem
> Integral über der Zeitableitung von E?
Hier hilft sicher der Gauß´sche Satz der Elektrostatik
(3) [mm] \integral_{\partial{V}}^{}{\vec{D}*d\vec{A}}=\integral_{V}^{}{\varrho{dV}}
[/mm]
weiter. Links steht nun ein geschlossenes Hüllflächenintegral. Auf der rechten Seite hingegen steht ein Volumenintegral. Angepasst an das Problem erhält man
(4) [mm] \integral_{\varphi=0}^{2\pi}{}\integral_{\varrho=0}^{a}{}\varepsilon{E_{z}\vec{e}_{z}*\vec{e}_{z}\varrho{d\varrho}d\varphi}=Q
[/mm]
(5) [mm] \gdw{E_{z}}=\bruch{Q}{\varepsilon\pi{a}^{2}}
[/mm]
und damit
(6) [mm] {\vec{E}_{z}}=\bruch{Q}{\varepsilon\pi{a}^{2}}\vec{e}_{z}.
[/mm]
> Stimmt mein Ansatz
> überhaupt?
> Vielleicht kann ja mal wer drüberschauen. Danke!
Viele Grüße, Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 So 14.10.2012 | | Autor: | tnr |
Hi,
wieso kann man aus dem Flächenintegral beim Verschiebungsstrom plötzlich ein Hüllenintegral machen?
Grüße
Max
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:33 So 14.10.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo max,
das ist nicht die Umformung eines Integrals, sondern der Zusammenhang zwischen Magnetfeld und bewegter Ladung = Stom aufgrund der Maxwellschen Gleichung.
Viele Grüße,
Infinit
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>
> Hi,
>
> wieso kann man aus dem Flächenintegral beim
> Verschiebungsstrom plötzlich ein Hüllenintegral machen?
Schau mal hier hier und ![[]](/images/popup.gif) hier. Das Durchflutungsgesetz beruht mathematisch, ebenso wie das Induktionsgesetz, auf dem Integralsatz von Stokes.
> Grüße
> Max
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Hallo!
Die Frage steht noch auf unbeantwortet, obwohl Marcel08 eine sehr ausführliche und korrekte Antwort gegeben hat.
Wenn noch was unklar ist, gerne fragen, ansonsten wird die Frage hiermit als beantwortet markiert...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:09 Do 11.10.2012 | | Autor: | adefg |
Ich hatte gestern leider keine Zeit mehr nach Antworten zu schauen ._. Vielen Danke für die ausführliche Erklärung! :)
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