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Kondensatorentladung DGL 1.Ord < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Kondensatorentladung DGL 1.Ord: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:11 Do 25.10.2018
Autor: hase-hh

Aufgabe
Der Kondensator hat die Kapazität C und die Ladung [mm] Q_0. [/mm]  Der Kondensator wird über einem elektrischen Leiter entladen. Der Widerstand des Leiters sei R.

Q(t) bezeichne die Ladung zum Zeitpunkt t.

Der Entladestrom zum Zeitpunkt t sei I(t) = [mm] \bruch{dQ}{dt}. [/mm]

Die Spannung am Kondensator beträgt zum Zeitpunkt t  

(1) [mm] U_c(t) [/mm] = [mm] \bruch{1}{C}*Q(t) [/mm]

Die Spannung am Widerstand beträgt zum Zeitpunkt t nach dem Ohmschen Gesetz

(2) [mm] U_R(t) [/mm] = [mm] R_C*I(t) [/mm]

Da in einem geschlossenen Leiterkreis zu jedem Zeitpunkt t

(3) [mm] U_C(t) [/mm] + [mm] U_r(t) [/mm] = 0  gilt,

gilt mit (1) auch

[mm] R_C*I(t) [/mm] + [mm] \bruch{1}{C}*Q(t) [/mm] = 0

a) Beschreiben Sie den zeitlichen Verlauf der Kondensatorentladung Q(t) unter Berücksichtigung von (1), (2) und (3) durch eine lineare DGL 1. Ordnung.

b) Geben Sie die Funktionsgleichung Q(t) in allgemeiner Form an.

c) Bestimmen Sie die Halbwertszeit T und zeigen Sie, dass gilt:

[mm] ln(\bruch{1}{2}) [/mm] = - [mm] \bruch{T}{CR_C} [/mm]  bzw.  T = [mm] C*R_C*ln(2) [/mm]


Moin Moin,

hier fehlt mir zunächst ein Ansatz.

Ich suche im Prinzip  Q(t), richtig?

Könnte ich dann nicht einfach die Gleichung unter (3) nehmen, d.h.

[mm] R_C*I(t) [/mm] + [mm] \bruch{1}{C}*Q(t) [/mm] = 0   ?


[mm] R_C*\bruch{dQ}{dt} [/mm] + [mm] \bruch{1}{C}*Q(t) [/mm] = 0

und dann die Variablen trennen?

[mm] R_C*\bruch [/mm] dQ =- [mm] \bruch{1}{C}*Q(t)*dt [/mm]


Danke für eure Hilfe!

        
Bezug
Kondensatorentladung DGL 1.Ord: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:17 Do 25.10.2018
Autor: fred97


> Der Kondensator hat die Kapazität C und die Ladung [mm]Q_0[/mm]  
> Der Kondensator wird über einem elektrischen Leiter
> entladen. Der Widerstand des Leiters sei R.
>
> Q(t) bezeichne die Ladung zum Zeitpunkt t.
>
> Der Entladestrom zum Zeitpunkt t sei I(t) =
> [mm]\bruch{dQ}{dt}.[/mm]
>  
> Die Spannung am Kondensator beträgt zum Zeitpunkt t  
>
> (1) [mm]U_c(t)[/mm] = [mm]\bruch{1}{C}*Q(t)[/mm]
>  
> Die Spannung am Widerstand beträgt zum Zeitpunkt t nach
> dem Ohmschen Gesetz
>  
> (2) [mm]U_R(t)[/mm] = [mm]R_C*I(t)[/mm]
>  
> Da in einem geschlossenen Leiterkreis zu jedem Zeitpunkt t
>
> (3) [mm]U_C(t)[/mm] + [mm]U_r(t)[/mm] = 0  gilt,
>
> gilt mit (1) auch
>  
> [mm]R_C*I(t)[/mm] + [mm]\bruch{1}{C}*Q(t)[/mm] = 0
>  
> a) Beschreiben Sie den zeitlichen Verlauf der
> Kondensatorentladung Q(t) unter Berücksichtigung von (1),
> (2) und (3) durch eine lineare DGL 1. Ordnung.
>  
> b) Geben Sie die Funktionsgleichung Q(t) in allgemeiner
> Form an.
>  
> c) Bestimmen Sie die Halbwertszeit T und zeigen Sie, dass
> gilt:
>  
> [mm]ln(\bruch{1}{2})[/mm] = - [mm]\bruch{T}{CR}[/mm]  bzw.  T = C*R*ln(2)
>  Moin Moin,
>
> hier fehlt mir zunächst ein Ansatz.
>
> Ich suche im Prinzip  Q(t), richtig?

Ja


>  
> Könnte ich dann nicht einfach die Gleichung unter (3)
> nehmen, d.h.
>  
> [mm]R_C*I(t)[/mm] + [mm]\bruch{1}{C}*Q(t)[/mm] = 0   ?

O.K.


>  
>
> [mm]R_C*\bruch{dQ}{dt}[/mm] + [mm]\bruch{1}{C}*Q(t)[/mm] = 0
>  
> und dann die Variablen trennen?

Ja, das kannst Du machen, aber Du hast es doch mit einer ganz popeligen homogenen DGL der Form

  $Q'(t)=aQ(t)$

zu tun (a ist eine Konstante).

>  
> [mm]R_C*\bruch[/mm] dQ =- [mm]\bruch{1}{C}*Q(t)*dt[/mm]
>  
>
> Danke für eure Hilfe!


Bezug
                
Bezug
Kondensatorentladung DGL 1.Ord: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:30 Do 25.10.2018
Autor: hase-hh


> >
> > [mm]R_C*\bruch{dQ}{dt}[/mm] + [mm]\bruch{1}{C}*Q(t)[/mm] = 0
>  >  
> > und dann die Variablen trennen?
>  
> Ja, das kannst Du machen, aber Du hast es doch mit einer
> ganz popeligen homogenen DGL der Form
>  
> [mm]Q'(t)=aQ(t)[/mm]
>  
> zu tun (a ist eine Konstante).

Wie soll mir das weiterhelfen?

Das Einzige, was mir gerade einfiele, wäre... wenn

a*f(x) = f '(x)

könnte dann f(x) = [mm] e^{\bruch{1}{a}*x} [/mm]  sein?

Oder wie geht das sonst?

Bezug
                        
Bezug
Kondensatorentladung DGL 1.Ord: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:02 Do 25.10.2018
Autor: fred97


> > >
> > > [mm]R_C*\bruch{dQ}{dt}[/mm] + [mm]\bruch{1}{C}*Q(t)[/mm] = 0
>  >  >  
> > > und dann die Variablen trennen?
>  >  
> > Ja, das kannst Du machen, aber Du hast es doch mit einer
> > ganz popeligen homogenen DGL der Form
>  >  
> > [mm]Q'(t)=aQ(t)[/mm]
>  >  
> > zu tun (a ist eine Konstante).
>  
> Wie soll mir das weiterhelfen?
>
> Das Einzige, was mir gerade einfiele, wäre... wenn
>
> a*f(x) = f '(x)
>
> könnte dann f(x) = [mm]e^{\bruch{1}{a}*x}[/mm]  sein?
>  

Könnte?  Die allgemeine Lösung  dieser Dgl lautet  [mm] f(x)=ce^{ax}. [/mm]


> Oder wie geht das sonst?


Bezug
                                
Bezug
Kondensatorentladung DGL 1.Ord: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:21 Fr 26.10.2018
Autor: hase-hh


> > > Ja, das kannst Du machen, aber Du hast es doch mit einer
> > > ganz popeligen homogenen DGL der Form
>  >  >  
> > > [mm]Q'(t)=aQ(t)[/mm]
>  >  >  
> > > zu tun (a ist eine Konstante).
>  >  
> > Wie soll mir das weiterhelfen?
> >
> > Das Einzige, was mir gerade einfiele, wäre... wenn
> >
> > a*f(x) = f '(x)
> >
> > könnte dann f(x) = [mm]e^{\bruch{1}{a}*x}[/mm]  sein?
>  >  
>
> Könnte?  Die allgemeine Lösung  dieser Dgl lautet  
> [mm]f(x)=ce^{ax}.[/mm]
>  

Ich fasse das mal zusammen. Wenn  Q ' (t) = a*Q(t)  dann heisst das, ich suche eine e-Funktion...

Wenn f(x) = [mm] e^x [/mm]   dann ist f ' (x) = [mm] e^x [/mm]  

Wenn f(x) = [mm] e^{ax} [/mm]  dann ist f ' (x) = [mm] a*e^{ax} [/mm]

Wenn f(x) = [mm] a*e^{\bruch{1}{a}x} [/mm]  dann ist f ' (x) = [mm] a*e^{\bruch{1}{a}x} [/mm]
        

Das a ist hier ja - [mm] \bruch{1}{CR} [/mm]


Q(t) = [mm] e^{- \bruch{1}{CR}*x} [/mm]

Q ' (t) = [mm] -CR*e^{- \bruch{1}{CR}*x} [/mm]


richtig?


zu b)   Die Funktionsgleichung in allgemeiner Form lautet

Q(t) = [mm] e^{-\bruch{1}{CR}*t} [/mm]


c) Halbwertszeit T

Q(t) = [mm] e^{-\bruch{1}{CR}*t} [/mm]

[mm] \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] e^{-\bruch{1}{CR}*T} [/mm]   |  ln

[mm] ln(\bruch{1}{2}) [/mm] = [mm] {-\bruch{T}{CR}} [/mm]  


richtig?


Danke und Gruß!
















Bezug
                                        
Bezug
Kondensatorentladung DGL 1.Ord: Okay
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:46 Fr 26.10.2018
Autor: Infinit

Hallo hase-hh,
ja, das ist der Lösungsweg und auch die Lösung.
Viele Grüße,
Infinit

Bezug
                                        
Bezug
Kondensatorentladung DGL 1.Ord: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:29 Fr 02.11.2018
Autor: hase-hh

Moin, Moin!

ich habe da ein, zwei Fehler entdeckt... daher nochmal...

> >
> > Könnte?  Die allgemeine Lösung  dieser Dgl lautet  
> > [mm]f(x)=ce^{ax}.[/mm]
>  >  

Ich suche Q(t)  


a)  DGL 1. Ordnung

Q'(t) = a*Q(t)

[mm] R_C*I(t) +\bruch{1}{C}*Q(t) [/mm] =0

[mm] R_C*\bruch{dQ}{dt} +\bruch{1}{C}*Q(t) [/mm] =0

Weitere Umformungen s. b)


b) Allgemeine Funktionsgleichung Q(t)

Anmerkung

Wenn f(x) = [mm]e^x[/mm]   dann ist f ' (x) = [mm]e^x[/mm]  

Wenn f(x) = [mm]e^{ax}[/mm]  dann ist f ' (x) = [mm]a*e^{ax}[/mm]


Also Q'(t) = a*Q(t)   bzw.  Q(t) = [mm] \bruch{1}{a}*Q'(t) [/mm]

[mm] R_C*Q'(t) [/mm] + [mm] \bruch{1}{C}*Q(t) [/mm] = 0

Q(t) = [mm] -CR_c*Q'(t) [/mm]        (bzw. Q'(t) = [mm] -\bruch{1}{CR_C}*Q(t)) [/mm]

=>  [mm] \bruch{1}{a} [/mm] >= [mm] -CR_c [/mm]  

a = - [mm] \bruch{1}{CR_c} [/mm]


=> mit e-Funktion formuliert ist

Q(t) = [mm] -CR_C*e^{-\bruch{1}{CR_C}*t} [/mm]



c) Halbwertszeit T

Ansatz

[mm] \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{Q(T)}{Q(0)} [/mm]

[mm] \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{-CR_C*e^{-\bruch{1}{CR_C}*T}}{-CR_C*e^{-\bruch{1}{CR_C}*0}} [/mm]

[mm] \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{-CR_C*e^{-\bruch{1}{CR_C}*T}}{-CR_C} [/mm]

[mm] \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{-CR_C*e^{-\bruch{1}{CR_C}*T}}{-CR_C} [/mm]

[mm] \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] e^{-\bruch{1}{CR_C}*T} [/mm]  | ln

[mm] ln(\bruch{1}{2}) [/mm] = ln( [mm] e^{-\bruch{1}{CR_C}*T}) [/mm]  

[mm] ln(\bruch{1}{2}) [/mm] = [mm] -\bruch{T}{CR_C} [/mm]





Bezug
                                                
Bezug
Kondensatorentladung DGL 1.Ord: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:19 Fr 02.11.2018
Autor: notinX

Hallo hase-hh,

> Moin, Moin!
>
> ich habe da ein, zwei Fehler entdeckt... daher nochmal...
>  
> > >
> > > Könnte?  Die allgemeine Lösung  dieser Dgl lautet  
> > > [mm]f(x)=ce^{ax}.[/mm]
>  >  >  
>
> Ich suche Q(t)  
>
>
> a)  DGL 1. Ordnung
>  
> Q'(t) = a*Q(t)

das würde ich eher weglassen.

>
> [mm]R_C*I(t) +\bruch{1}{C}*Q(t)[/mm] =0
>  
> [mm]R_C*\bruch{dQ}{dt} +\bruch{1}{C}*Q(t)[/mm] =0

[ok]

>  
> Weitere Umformungen s. b)
>  
>
> b) Allgemeine Funktionsgleichung Q(t)
>  
> Anmerkung
>  
> Wenn f(x) = [mm]e^x[/mm]   dann ist f ' (x) = [mm]e^x[/mm]  
>
> Wenn f(x) = [mm]e^{ax}[/mm]  dann ist f ' (x) = [mm]a*e^{ax}[/mm]
>  
> Also Q'(t) = a*Q(t)   bzw.  Q(t) = [mm]\bruch{1}{a}*Q'(t)[/mm]
>  
> [mm]R_C*Q'(t)[/mm] + [mm]\bruch{1}{C}*Q(t)[/mm] = 0
>
> Q(t) = [mm]-CR_c*Q'(t)[/mm]        (bzw. Q'(t) =
> [mm]-\bruch{1}{CR_C}*Q(t))[/mm]
>  
> =>  [mm]\bruch{1}{a}[/mm] >= [mm]-CR_c[/mm]  

Nein, nicht [mm] $\frac{1}{a}\geq -CR_C$ [/mm] sondern [mm] $\frac{1}{a}= -CR_C$ [/mm]

>
> a = - [mm]\bruch{1}{CR_c}[/mm]

[ok]

>  
>
> => mit e-Funktion formuliert ist
>
> Q(t) = [mm]-CR_C*e^{-\bruch{1}{CR_C}*t}[/mm]
>  

Wieso das? Wie fred97 schon schrieb: Die allgemeine Lösung der DGL ist [mm] $f(x)=ce^{ax}$ [/mm]
Wie hast Du die Konstante c bestimmt?

>
>
> c) Halbwertszeit T
>
> Ansatz
>  
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] = [mm]\bruch{Q(T)}{Q(0)}[/mm]

[ok]

>
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] =
> [mm]\bruch{-CR_C*e^{-\bruch{1}{CR_C}*T}}{-CR_C*e^{-\bruch{1}{CR_C}*0}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] = [mm]\bruch{-CR_C*e^{-\bruch{1}{CR_C}*T}}{-CR_C}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] = [mm]\bruch{-CR_C*e^{-\bruch{1}{CR_C}*T}}{-CR_C}[/mm]
>  
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] = [mm]e^{-\bruch{1}{CR_C}*T}[/mm]  | ln
>  
> [mm]ln(\bruch{1}{2})[/mm] = ln( [mm]e^{-\bruch{1}{CR_C}*T})[/mm]  
>
> [mm]ln(\bruch{1}{2})[/mm] = [mm]-\bruch{T}{CR_C}[/mm]

Trotz falscher Konstante c stimmt das Ergebnis, da sich die Konstante rauskürzt. Das lässt sich aber noch weiter vereinfachen. Da sollte am Ende zumindest eine Gleichung der Form:
$T=...$
stehen.

>
>
>
>  

Gruß,

notinX

Bezug
                                                        
Bezug
Kondensatorentladung DGL 1.Ord: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:16 Fr 02.11.2018
Autor: hase-hh


> Hallo hase-hh,
>  
> > Moin, Moin!
> >
> > ich habe da ein, zwei Fehler entdeckt... daher nochmal...
>  >  
> > > >
> > > > Könnte?  Die allgemeine Lösung  dieser Dgl lautet  
> > > > [mm]f(x)=ce^{ax}.[/mm]
>  >  >  >  
> >
> > Ich suche Q(t)  
> >
> >
> > a)  DGL 1. Ordnung
>  >  
> > Q'(t) = a*Q(t)
>
> das würde ich eher weglassen.

Warum? Das ist doch das, worauf der ganze Ansatz fußt!

???
  

> >
> > [mm]R_C*I(t) +\bruch{1}{C}*Q(t)[/mm] =0
>  >  
> > [mm]R_C*\bruch{dQ}{dt} +\bruch{1}{C}*Q(t)[/mm] =0
>  
> [ok]
>  
> >  

> > Weitere Umformungen s. b)
>  >  
> >
> > b) Allgemeine Funktionsgleichung Q(t)
>  >  
> > Anmerkung
>  >  
> > Wenn f(x) = [mm]e^x[/mm]   dann ist f ' (x) = [mm]e^x[/mm]
>  >
>  > Wenn f(x) = [mm]e^{ax}[/mm]  dann ist f ' (x) = [mm]a*e^{ax}[/mm]

>  >  
> > Also Q'(t) = a*Q(t)   bzw.  Q(t) = [mm]\bruch{1}{a}*Q'(t)[/mm]
>  >  
> > [mm]R_C*Q'(t)[/mm] + [mm]\bruch{1}{C}*Q(t)[/mm] = 0
> >
> > Q(t) = [mm]-CR_c*Q'(t)[/mm]        (bzw. Q'(t) =
> > [mm]-\bruch{1}{CR_C}*Q(t))[/mm]
>  >  
> > =>  [mm]\bruch{1}{a}[/mm] >= [mm]-CR_c[/mm]  

>
> Nein, nicht [mm]\frac{1}{a}\geq -CR_C[/mm] sondern [mm]\frac{1}{a}= -CR_C[/mm]

Das war ein Formatierungsfehler.
  

> >
> > a = - [mm]\bruch{1}{CR_c}[/mm]
>  
> [ok]
>  
> >  

> >
> > => mit e-Funktion formuliert ist
> >
> > Q(t) = [mm]-CR_C*e^{-\bruch{1}{CR_C}*t}[/mm]
>  >  
>
> Wieso das? Wie fred97 schon schrieb: Die allgemeine Lösung
> der DGL ist [mm]f(x)=ce^{ax}[/mm]
>  Wie hast Du die Konstante c bestimmt?

Du verwirrst mich.

Im Prinzip soll Q(t) = [mm] a*e^{at} [/mm]  sein.

Dann wäre  Q(t) = - [mm] \bruch{1}{CR_C}*e^{-\bruch{1}{CR_C}} [/mm]

???


Oder wie soll das sonst gehen?


Also Q'(t) = a*Q(t)   bzw.  Q(t) = [mm] \bruch{1}{a}*Q'(t) [/mm]

und a habe ich ja ermittelt zu a = [mm] -\bruch{1}{CR_C} [/mm]



> >
> > c) Halbwertszeit T
> >
> > Ansatz
>  >  
> > [mm]\bruch{1}{2}[/mm] = [mm]\bruch{Q(T)}{Q(0)}[/mm]
>
> [ok]
>  
> >
> > [mm]\bruch{1}{2}[/mm] =
> >
> [mm]\bruch{-CR_C*e^{-\bruch{1}{CR_C}*T}}{-CR_C*e^{-\bruch{1}{CR_C}*0}}[/mm]
> >
> > [mm]\bruch{1}{2}[/mm] = [mm]\bruch{-CR_C*e^{-\bruch{1}{CR_C}*T}}{-CR_C}[/mm]
> >
> > [mm]\bruch{1}{2}[/mm] = [mm]\bruch{-CR_C*e^{-\bruch{1}{CR_C}*T}}{-CR_C}[/mm]
>  >  
> > [mm]\bruch{1}{2}[/mm] = [mm]e^{-\bruch{1}{CR_C}*T}[/mm]  | ln
>  >  
> > [mm]ln(\bruch{1}{2})[/mm] = ln( [mm]e^{-\bruch{1}{CR_C}*T})[/mm]  
> >
> > [mm]ln(\bruch{1}{2})[/mm] = [mm]-\bruch{T}{CR_C}[/mm]
>
> Trotz falscher Konstante c stimmt das Ergebnis, da sich die
> Konstante rauskürzt. Das lässt sich aber noch weiter
> vereinfachen. Da sollte am Ende zumindest eine Gleichung
> der Form:
> [mm]T=...[/mm]
> stehen.

T = [mm] -ln(\bruch{1}{2})*CR_C [/mm]

T = [mm] ln(2)*CR_C [/mm]


Grüße


Bezug
                                                                
Bezug
Kondensatorentladung DGL 1.Ord: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:15 Fr 02.11.2018
Autor: notinX


> > Hallo hase-hh,
>  >  
> > > Moin, Moin!
> > >
> > > ich habe da ein, zwei Fehler entdeckt... daher nochmal...
>  >  >  
> > > > >
> > > > > Könnte?  Die allgemeine Lösung  dieser Dgl lautet  
> > > > > [mm]f(x)=ce^{ax}.[/mm]
>  >  >  >  >  
> > >
> > > Ich suche Q(t)  
> > >
> > >
> > > a)  DGL 1. Ordnung
>  >  >  
> > > Q'(t) = a*Q(t)
> >
> > das würde ich eher weglassen.
>  
> Warum? Das ist doch das, worauf der ganze Ansatz fußt!
>
> ???

Na ja, Du hast eine DGL [mm] $\dot{Q}(t)=-\frac{1}{R_C C}Q(t)$ [/mm]
bzw. einen Lösungsansatz [mm] $Q(t)=ce^{at}$ [/mm]
Was Du geschrieben hast ist ja nicht falsch, mich würde es nur eher verwirren als zur Klarheit beitragen. Aber das ist Geschmackssache.

>    
> > >
> > > [mm]R_C*I(t) +\bruch{1}{C}*Q(t)[/mm] =0
>  >  >  
> > > [mm]R_C*\bruch{dQ}{dt} +\bruch{1}{C}*Q(t)[/mm] =0
>  >  
> > [ok]
>  >  
> > >  

> > > Weitere Umformungen s. b)
>  >  >  
> > >
> > > b) Allgemeine Funktionsgleichung Q(t)
>  >  >  
> > > Anmerkung
>  >  >  
> > > Wenn f(x) = [mm]e^x[/mm]   dann ist f ' (x) = [mm]e^x[/mm]
>  >  >
>  >  > Wenn f(x) = [mm]e^{ax}[/mm]  dann ist f ' (x) = [mm]a*e^{ax}[/mm]

>  >  >  
> > > Also Q'(t) = a*Q(t)   bzw.  Q(t) = [mm]\bruch{1}{a}*Q'(t)[/mm]
>  >  >  
> > > [mm]R_C*Q'(t)[/mm] + [mm]\bruch{1}{C}*Q(t)[/mm] = 0
> > >
> > > Q(t) = [mm]-CR_c*Q'(t)[/mm]        (bzw. Q'(t) =
> > > [mm]-\bruch{1}{CR_C}*Q(t))[/mm]
>  >  >  
> > > =>  [mm]\bruch{1}{a}[/mm] >= [mm]-CR_c[/mm]  

> >
> > Nein, nicht [mm]\frac{1}{a}\geq -CR_C[/mm] sondern [mm]\frac{1}{a}= -CR_C[/mm]
>  
> Das war ein Formatierungsfehler.
>    
> > >
> > > a = - [mm]\bruch{1}{CR_c}[/mm]
>  >  
> > [ok]
>  >  
> > >  

> > >
> > > => mit e-Funktion formuliert ist
> > >
> > > Q(t) = [mm]-CR_C*e^{-\bruch{1}{CR_C}*t}[/mm]
>  >  >  
> >
> > Wieso das? Wie fred97 schon schrieb: Die allgemeine Lösung
> > der DGL ist [mm]f(x)=ce^{ax}[/mm]
>  >  Wie hast Du die Konstante c bestimmt?
>  
> Du verwirrst mich.
>
> Im Prinzip soll Q(t) = [mm]a*e^{at}[/mm]  sein.
>
> Dann wäre  Q(t) = - [mm]\bruch{1}{CR_C}*e^{-\bruch{1}{CR_C}}[/mm]
>  
> ???
>
>
> Oder wie soll das sonst gehen?
>  
>
> Also Q'(t) = a*Q(t)   bzw.  Q(t) = [mm]\bruch{1}{a}*Q'(t)[/mm]
>  
> und a habe ich ja ermittelt zu a = [mm]-\bruch{1}{CR_C}[/mm]

Das a hast Du ja richtig ermittelt. Aber die Lösungsfunktion sieht so aus: [mm] $Q(t)=ce^{at}$ [/mm] und NICHT so: [mm] $Q(t)=ae^{at}$, [/mm] siehe oben.
Ich glaube Du verwirrst Dich mit der Schreibweise eher selbst.
Es ist [mm] $Q(t)=ce^{at}$, [/mm] a hast Du schon bestimmt. Jetzt fehlt noch c.
Du kennst die Ladungsmenge zu einem bestimmten Zeitpunkt, daraus kannst Du c ermitteln.

>  
>
>
> > >
> > > c) Halbwertszeit T
> > >
> > > Ansatz
>  >  >  
> > > [mm]\bruch{1}{2}[/mm] = [mm]\bruch{Q(T)}{Q(0)}[/mm]
> >
> > [ok]
>  >  
> > >
> > > [mm]\bruch{1}{2}[/mm] =
> > >
> >
> [mm]\bruch{-CR_C*e^{-\bruch{1}{CR_C}*T}}{-CR_C*e^{-\bruch{1}{CR_C}*0}}[/mm]
> > >
> > > [mm]\bruch{1}{2}[/mm] = [mm]\bruch{-CR_C*e^{-\bruch{1}{CR_C}*T}}{-CR_C}[/mm]
> > >
> > > [mm]\bruch{1}{2}[/mm] = [mm]\bruch{-CR_C*e^{-\bruch{1}{CR_C}*T}}{-CR_C}[/mm]
>  >  >  
> > > [mm]\bruch{1}{2}[/mm] = [mm]e^{-\bruch{1}{CR_C}*T}[/mm]  | ln
>  >  >  
> > > [mm]ln(\bruch{1}{2})[/mm] = ln( [mm]e^{-\bruch{1}{CR_C}*T})[/mm]  
> > >
> > > [mm]ln(\bruch{1}{2})[/mm] = [mm]-\bruch{T}{CR_C}[/mm]
> >
> > Trotz falscher Konstante c stimmt das Ergebnis, da sich die
> > Konstante rauskürzt. Das lässt sich aber noch weiter
> > vereinfachen. Da sollte am Ende zumindest eine Gleichung
> > der Form:
> > [mm]T=...[/mm]
> > stehen.
>  
> T = [mm]-ln(\bruch{1}{2})*CR_C[/mm]
>  
> T = [mm]ln(2)*CR_C[/mm]

[ok]

>  
>
> Grüße
>  

Gruß,

notinX

Bezug
                                                                        
Bezug
Kondensatorentladung DGL 1.Ord: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:04 Sa 03.11.2018
Autor: hase-hh

Moin!

> > > > Q(t) = [mm]-CR_C*e^{-\bruch{1}{CR_C}*t}[/mm]
>  >  >  >  
> > >
> > > Wieso das? Wie fred97 schon schrieb: Die allgemeine Lösung
> > > der DGL ist [mm]f(x)=ce^{ax}[/mm]
>  >  >  Wie hast Du die Konstante c bestimmt?
>  >  
> > Du verwirrst mich.
> >
> > Im Prinzip soll Q(t) = [mm]a*e^{at}[/mm]  sein.
> >
> > Dann wäre  Q(t) = - [mm]\bruch{1}{CR_C}*e^{-\bruch{1}{CR_C}}[/mm]
>  >  
> > ???
> >
> >
> > Oder wie soll das sonst gehen?
>  >  
> >
> > Also Q'(t) = a*Q(t)   bzw.  Q(t) = [mm]\bruch{1}{a}*Q'(t)[/mm]
>  >  
> > und a habe ich ja ermittelt zu a = [mm]-\bruch{1}{CR_C}[/mm]
>  
> Das a hast Du ja richtig ermittelt. Aber die
> Lösungsfunktion sieht so aus: [mm]Q(t)=ce^{at}[/mm] und NICHT so:
> [mm]Q(t)=ae^{at}[/mm], siehe oben.
> Ich glaube Du verwirrst Dich mit der Schreibweise eher
> selbst.
>  Es ist [mm]Q(t)=ce^{at}[/mm], a hast Du schon bestimmt. Jetzt fehlt
> noch c.
> Du kennst die Ladungsmenge zu einem bestimmten Zeitpunkt,
> daraus kannst Du c ermitteln.

Hmm. Dazu würde mir einfallen, dass c ja dem Anfangswert einer Exponentialfunktion entspricht.   c = [mm] Q_0 [/mm]  ???

Aber gibt das nicht Widersprüche ?

Wenn ich das ableite kommt  Q '(t) = [mm] Q_0*(- \bruch{1}{CR_C})*e^{- \bruch{1}{CR_R}*t} [/mm]  heraus ???


Grüße !!


Bezug
                                                                                
Bezug
Kondensatorentladung DGL 1.Ord: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:10 Sa 03.11.2018
Autor: notinX


> Moin!
>  
> > > > > Q(t) = [mm]-CR_C*e^{-\bruch{1}{CR_C}*t}[/mm]
>  >  >  >  >  
> > > >
> > > > Wieso das? Wie fred97 schon schrieb: Die allgemeine Lösung
> > > > der DGL ist [mm]f(x)=ce^{ax}[/mm]
>  >  >  >  Wie hast Du die Konstante c bestimmt?
>  >  >  
> > > Du verwirrst mich.
> > >
> > > Im Prinzip soll Q(t) = [mm]a*e^{at}[/mm]  sein.
> > >
> > > Dann wäre  Q(t) = - [mm]\bruch{1}{CR_C}*e^{-\bruch{1}{CR_C}}[/mm]
>  >  >  
> > > ???
> > >
> > >
> > > Oder wie soll das sonst gehen?
>  >  >  
> > >
> > > Also Q'(t) = a*Q(t)   bzw.  Q(t) = [mm]\bruch{1}{a}*Q'(t)[/mm]
>  >  >  
> > > und a habe ich ja ermittelt zu a = [mm]-\bruch{1}{CR_C}[/mm]
>  >  
> > Das a hast Du ja richtig ermittelt. Aber die
> > Lösungsfunktion sieht so aus: [mm]Q(t)=ce^{at}[/mm] und NICHT so:
> > [mm]Q(t)=ae^{at}[/mm], siehe oben.
> > Ich glaube Du verwirrst Dich mit der Schreibweise eher
> > selbst.
>  >  Es ist [mm]Q(t)=ce^{at}[/mm], a hast Du schon bestimmt. Jetzt
> fehlt
> > noch c.
> > Du kennst die Ladungsmenge zu einem bestimmten Zeitpunkt,
> > daraus kannst Du c ermitteln.
>  
> Hmm. Dazu würde mir einfallen, dass c ja dem Anfangswert
> einer Exponentialfunktion entspricht.   c = [mm]Q_0[/mm]  ???

Ja, aus [mm] $Q(0)=Q_0$ [/mm] folgt [mm] $c=Q_0$ [/mm]

>
> Aber gibt das nicht Widersprüche ?

Welche denn?

>
> Wenn ich das ableite kommt  Q '(t) = [mm]Q_0*(- \bruch{1}{CR_C})*e^{- \bruch{1}{CR_R}*t}[/mm]
>  heraus ???

[ok]

>  
>
> Grüße !!
>  

Ich sehe keinen Widerspruch.

Gruß,

notinX

Bezug
                                                                                        
Bezug
Kondensatorentladung DGL 1.Ord: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:23 So 04.11.2018
Autor: hase-hh

Moin "not in X" (achso, nicht Not in X - räusper) !

Ich glaube meine Hauptverständnisschwierigkeit ist / war, dass die gesuchte Funktion Q(t) = [mm] c*e^{at} [/mm]  ist. Und hierbei das c, welches sich nicht aus a  bzw. 1/a herleitet.

Nun sehe ich keine Widersprüche mehr.


Zusammenfassung


Ich suche Q(t)  

a)  DGL 1. Ordnung
  
Q'(t) = a*Q(t)

=>  Q(t) ist eine e-Funktion, s. Anmerkung, mit

Q(t) = c [mm] e^{at} [/mm]

und  

Q'(t) = [mm] c*a*e^{at} [/mm]


Zu lösen ist also die DGL

[mm]R_C*I(t) +\bruch{1}{C}*Q(t)[/mm] =0
  
[mm]R_C*\bruch{dQ}{dt} +\bruch{1}{C}*Q(t)[/mm] =0
  
Weitere Umformungen s. b)
  

b) Allgemeine Funktionsgleichung Q(t) = [mm] c*e^{at} [/mm]
  
Anmerkung
  
Wenn f(x) = [mm]e^x[/mm]   dann ist f ' (x) = [mm]e^x[/mm]

Wenn f(x) = [mm]e^{kx}[/mm]  dann ist f ' (x) = [mm]k*e^{kx}[/mm]


Also Q'(t) = a*Q(t)  

mit

Q(t) = [mm] c*e^{at} [/mm]

Q'(t) = [mm] c*a*e^{at} [/mm]

  

Wir formen um...

[mm]R_C*Q'(t)[/mm] + [mm]\bruch{1}{C}*Q(t)[/mm] = 0

Q(t) = [mm]-CR_C*Q'(t)[/mm]        <=>   [mm] c*e^{at} [/mm] = [mm] -CR_C*c*a*e^{at} [/mm]


Bestimmung von a

[mm] c*e^{at} [/mm] = [mm] -CR_C*c*a*e^{at} [/mm]    | : c   | : [mm] e^{at} [/mm]

1 = [mm] -CR_C*a [/mm]

a = - [mm] \bruch{1}{CR_C} [/mm]


Q(t) = [mm] c*e^{-\bruch{1}{CR_C}*t} [/mm]


Bestimmung von c

c ist der Anfangswert und hier im Prinzip vorgegeben mit c = Q(0) = [mm] Q_0 [/mm]


Q(t) = [mm] Q_0*e^{-\bruch{1}{CR_C}*t} [/mm]


c) Halbwertszeit T

Ansatz


Q(T) = [mm] \bruch{Q_0}{2} [/mm]

[mm] \bruch{Q_0}{2} [/mm] = [mm] Q_0*e^{-\bruch{1}{CR_C}*T} [/mm]


[mm]\bruch{1}{2}[/mm] = [mm]e^{-\bruch{1}{CR_C}*T}[/mm]  | ln

[mm]ln(\bruch{1}{2})[/mm] = ln( [mm]e^{-\bruch{1}{CR_C}*T})[/mm]  

[mm]ln(\bruch{1}{2})[/mm] = [mm]-\bruch{T}{CR_C}[/mm]

T = [mm] -CR_C*ln(\bruch{1}{2}) [/mm]

T = [mm] CR_C*ln(2) [/mm]



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