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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:46 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
Ich habe hier in meinem Buch grade ein Beispiel zur Kondition, dass ich nicht verstehe.
Bestimmt werden sollen die Konditionszahlen der Addition.
Wir sagen, die Addition ist eine Abbildung f: [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] und [mm] \vektor{a \\ b} \mapsto \f(a,b) [/mm] = a + b. Das ist klar.
Da f differnezierbar ist, benutzen für für die absolute Konditionszahl die Formel [mm] k_{abs} [/mm] = |||f'(x)|||, wobei f'(x) die Jacobi-Matrix ist, und die 3-Strich-Norm die Matrixnorm |||A||| = [mm] \sup_{x \not= 0} \bruch{||Ax||}{||x||} [/mm] = [mm] \sup_{x=1} [/mm] ||Ax|| ist.
Nun bestimmen wir die Jacobi-Matrix. Es gibt ja nur eine Komponentenfunktion und 2 Varibalen. Also sieht f'(x) so aus:
[mm] f'(x)=\pmat{ \bruch{\partial f_1}{\partial a} & \bruch{\partial f_1}{\partial b}}=\pmat{ 1 & 1}.
[/mm]
Nun weiß ich aber nicht, wie ich mit der Matrix-Norm-Formel da oben die Norm von [mm] \pmat{ 1 & 1} [/mm] bestimmen kann, ich kann mit dem Ding gar nix anfangen, ich hab ja überhaupt kein x... Und im Buch wird dazu nix gesagt.
In der Vorlesungsmitschrift haben wir [mm] x=(\delta a,\delta [/mm] b) gesetzt, aber ich hab absolut keinen Schimmer, was das sein soll...
Das Ergenis der Norm soll übrigens 1 sein. Kann mir jemand erklären, wie man darauf kommt?
Vielen Dank schonmal.
LG, Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:00 So 20.01.2008 | | Autor: | fausto |
Guten Tag
Die Norm von (1, 1) definierst du (bis auf einen kleinen Tippfehler) selbst als
[mm] \sup_{||x||=1} [/mm] ||Ax||
Wenn nun x = [mm] (x_1, x_2) [/mm] suchst du nach [mm] \sup_{\wurzel{x_1^2+x_2^2}=1} ||{x_1 + x_2}|| [/mm] = [mm] \wurzel{2}
[/mm]
Nun ist das nicht dein gewünschtes Resultat (1), aber die Norm || || in [mm] \IR^2 [/mm] und [mm] \IR [/mm] habe ich ja auch "willkürlich" gewählt.
Genereller Hinweis: http://de.wikipedia.org/wiki/Konditionszahl
Dort steht auch als Beispiel die Herleitung der RELATIVEN Kondition der Addition. Versuch es selbst Herzuleiten bevor du nachschaust.
Gruss
Fausto
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
Vielen Dank schonmal für deine Antwort. Allerdings weiß ich jetzt immer noch nicht, wie ich auf meine 1 als Ergebnis komme.
> Die Norm von (1, 1) definierst du (bis auf einen kleinen
> Tippfehler) selbst als
> [mm]\sup_{||x||=1}[/mm] ||Ax||
Soweit klar, einfach nur Definition (falsch) übertragen.
> Wenn nun x = [mm](x_1, x_2)[/mm] suchst du nach
> [mm]\sup_{\wurzel{x_1^2+x_2^2}=1} ||{x_1 + x_2}||[/mm] = [mm]\wurzel{2}[/mm]
Wir sagen jetzt also allgemein, x sei gleich [mm] \vektor{x_1 \\ x_2}?
[/mm]
Und dann setzt du in [mm] \sup_{||x||=1} [/mm] den x-Vektor ein, und wählst die 1-Norm?
Gut, dann versteh ich auch, was da unter dem [mm]\sup[/mm] das mit der Wurzel steht.
Und dann hast du [mm] A=\pmat{ 1 \\ 1 } [/mm] mit [mm] \vektor{x_1 \\ x_2} [/mm] multipliziert und kommst auf die Addition in den Betragsstrichen. Das ist soweit auch klar.
Aber wie kommst du jetzt auf die [mm] \wurzel{2} [/mm] oder in meinem Fall, wie komm ich auf die 1?
Und was sind bei mir diese [mm] \delta?
[/mm]
Ich erkenn im Buch nur, dass das was mit Fehler sein soll, oder so.
Ich weiß garnicht, warum wir die nehmen, und nicht auch x einfach allgemein wählen?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:26 Sa 16.02.2008 | | Autor: | grrmpf |
Hey,
um die Konditionszahl zu bestimmen, brauchst du eine Matrixnorm (nebenbei bemerkt, Konditionszahlen und auch Kondition im allgemeinen sind IMMER normabhängig). Eine Matrixnorm ist meist einer Vektornorm zugeteilt. (die Definition dafür kam ja jetzt schon - die 3-Strich-Norm ist nur die allgemeine Defintion der Matrixnorm). Nun hängt deine Matrixnorm aber von deiner gewählten Vektornorm ab. Das Beispiel der euklidischen Norm wurde schon bearbeitet und die Spaltensummennorm (Matrixnorm) wurde noch vorgeschlagen. Die ist der Summennorm (Vektornorm) zugeordnet. Definitionen für [mm] y\in\IR^{n}, A\in\IR^{m\times n}
[/mm]
[mm] \parallel y\parallel_{1}= \summe_{i=1}^{n} |y_{i}|
[/mm]
[mm] \parallel A\parallel_{1}= max_{1\le j\le m}\summe_{i=1}^{m} |a_{ij}|
[/mm]
Deine Vektoren sind [mm] y_{1}:=1 [/mm] und [mm] y_{2}:=1. [/mm] Deine Matrixeinträge sind [mm] a_{11}=y_{1}=1 [/mm] und [mm] a_{12}=y_{2}=1. [/mm] Und wenn du diese Normen anwendest, bekommst du als Ergebnis für deine Matrixnorm 1.
Du musst die Matrixnormen nicht unbedingt mit der eher unhandlichen Defintion berechnen. Wenn du weißt, welche Vektornorm du benutzen sollst, kannst du die zugehörige Matrixnorm nachschlagen.
Was die [mm] \delta [/mm] angeht, kann ich dir auch nicht wirklich helfen, allgemein dazu, dass man mit Konditionszahlen die Stabilität des Algorithmus bzgl. kleinen Änderungen der Eingabewerte angibt. Also ist damit wahrscheinlich der Rundungsfehler gemeint, der bei den Maschinenzahlen auftritt. Musst noch mal nachlesen, ob das so passen könnte.
lg, susann
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Hallo..
du hast doch eine [mm] 1\times2 [/mm] Matrix jetzt. d.h. eine Zeile und zwei Spalten.
Wende nun darauf die Spaltensummennorm an und du erhältst die 1
MFG
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