Kondition von Matrizen < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:39 So 05.02.2006 | | Autor: | Sunny84 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: Die Kondition einer n x n-Matrix A bezüglich der euklidischen Matrixnorm (Spektralnorm) und der Frobeniusnorm ändert sich nicht unter orthogonalen Transformationen, d.h. wenn A=QR mit Q orthogonal, dann cond(R)=cond(A). Zeigen sie, dass das bei einer LR-Zerlegung der Matrix A nicht garantiert werden kann. |
Schreibe am Freitag Numerikklausur und habe bei dieser Aufgabe hier leider überhaupt keinen Plan, wie ich das angehen könnte. Bin für jede Hilfe dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Sunny84,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Dazu muß man zunächst wissen das
[mm]cond(A)=||A||*||A^{-1}||[/mm]
Nun würde ich versuchen zu zeigen das die Norm von A gleich der von R ist indem man QR für A einsetzt und dasselbe für [mm] R^{-1}.
[/mm]
viele Grüße
mathemaduenn
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 Mi 08.02.2006 | | Autor: | Sunny84 |
Hi!
vielen Dank für deine Antwort. Habe inzwischen mit ein paar anderen die Lösung zum ersten Teil der Aufgabe. Also:
cond(A) = [mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel [/mm] * [mm] \parallel A^{-1} \parallel
[/mm]
= [mm] \parallel [/mm] QR [mm] \parallel [/mm] * [mm] \parallel R^{-1}Q^{-1} \parallel
[/mm]
= [mm] \parallel [/mm] R [mm] \parallel [/mm] * [mm] \parallel R^{-1} \parallel
[/mm]
Da Q unitär ist, ändert Q nichts am Betrag der Norm (aus Vorlesung)
Nun zum zweiten Teil (man soll zeigen dass das bei der LR-Zerlegung nicht so ist)
cond (A) = [mm] \parallel [/mm] LR [mm] \parallel [/mm] * [mm] \parallel R^{-1}L^{-1} \parallel
[/mm]
[mm] \le \parallel [/mm] L [mm] \parallel* \parallel [/mm] R [mm] \parallel [/mm] * [mm] \parallel R^{-1} \parallel [/mm] * [mm] \parallel L^{-1} \parallel [/mm] (Submultiplikativität der Normen)
und dann soll die Norm von L und [mm] L^{-1} [/mm] anscheinend 1 sein und daraus folgt, dass cond(A) kleinergleich cond(R) ist.
Die Frobeniusnorm, mit der man das rechnen soll ist doch definiert durch die Quadratwurzel aus der Spur von A(transponiert)*A.
Aber kann mir bitte jemand sagen, weshalb die Norm 1 ist? Die Matrix hat zwar einsen auf der Diagonale und die transponierte auch, aber wenn man die multipliziert stehn auf der Diagonalen ja keine einsen mehr. Also hat jemand eine Ahnung warum die Norm eins ist?
Danke, Sunny84
|
|
|
| |
|
Hallo sunny,
> cond(A) = [mm]\parallel[/mm] A [mm]\parallel[/mm] * [mm]\parallel A^{-1} \parallel[/mm]
>
> = [mm]\parallel[/mm] QR [mm]\parallel[/mm] * [mm]\parallel R^{-1}Q^{-1} \parallel[/mm]
>
> = [mm]\parallel[/mm] R [mm]\parallel[/mm] * [mm]\parallel R^{-1} \parallel[/mm]
>
> Da Q unitär ist, ändert Q nichts am Betrag der Norm (aus
> Vorlesung)
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") und das gilt ganz im allgemeinen für alle Matrixnormen??? Habt ihr vllt. auch den Beweis dazu aufgeschrieben? Ich seh's gerade nicht.
Du kannst aber auch einfach QR für A in die Normdefinition einsetzen. Das geht imho auch schnell.
> Nun zum zweiten Teil (man soll zeigen dass das bei der
> LR-Zerlegung nicht so ist)
>
> cond (A) = [mm]\parallel[/mm] LR [mm]\parallel[/mm] * [mm]\parallel R^{-1}L^{-1} \parallel[/mm]
>
> [mm]\le \parallel[/mm] L [mm]\parallel* \parallel[/mm] R
> [mm]\parallel[/mm] * [mm]\parallel R^{-1} \parallel[/mm] * [mm]\parallel L^{-1} \parallel[/mm]
> (Submultiplikativität der Normen)
>
> und dann soll die Norm von L und [mm]L^{-1}[/mm] anscheinend 1 sein
> und daraus folgt, dass cond(A) kleinergleich cond(R) ist.
> Die Frobeniusnorm, mit der man das rechnen soll ist doch
> definiert durch die Quadratwurzel aus der Spur von
> A(transponiert)*A.
> Aber kann mir bitte jemand sagen, weshalb die Norm 1 ist?
> Die Matrix hat zwar einsen auf der Diagonale und die
> transponierte auch, aber wenn man die multipliziert stehn
> auf der Diagonalen ja keine einsen mehr. Also hat jemand
> eine Ahnung warum die Norm eins ist?
Diese Norm ist nicht eins. Du kannst Dir ja ein Bsp. ausdenken und das durchrechnen. Das würde mich sehr überraschen wenn da 1 rauskommt. Sich ein Bsp. auszudenken ist für einen Beweis das etwas nicht i.A. gilt sicher keine schlechte Idee . Zumindest dürfte es ziemlich schwer sein zu beweisen das cond(A) [mm] \le [/mm] cond(R).
viele Grüße
mathemaduenn
|
|
|
|
