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Forum "mathematische Statistik" - Konfidenz-Intervalle fuer Mean
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Konfidenz-Intervalle fuer Mean: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 22:40 Mi 16.11.2022
Autor: Jellal

Guten Abend,

ich lese mich gerade zu Grundlagen der math. Statistik ein und verstehe hier eine Buchstelle zu Konfidenzintervallen nicht.

[Dateianhang nicht öffentlich]

Zwar ist [mm] \hat{\Delta} [/mm] die Differenz aus zwei Sample-Means, aber es ist selbst doch kein Sample-Mean. Die Version des C.L.T, die hier erwaehnt wird, sieht so aus:

[Dateianhang nicht öffentlich]

[mm] \bar{X} [/mm] ist hier der Sample-Mean aus n normal-verteilten Zufallsvariablen. Aber auf [mm] \hat{\Delta} [/mm] trifft das doch nicht zu, oder?

Buch: Hogg, McKean, Craig: Introduction to Mathematical Statistics, 8th edition.

vG.
Jellal

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Konfidenz-Intervalle fuer Mean: direkte Zitate vermeiden
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:40 Do 17.11.2022
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo Jellal

Leider kann man die Anhänge nicht öffnen (Stichwort Urheberrecht).
Kannst due deine Fragen auch ohne direkten Rückgriff auf diese
Buchtexte rüberbringen ?

LG ,   Al-Chw.

Bezug
        
Bezug
Konfidenz-Intervalle fuer Mean: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:06 Do 17.11.2022
Autor: Eisfisch

ich vermute du beziehst dich auf kap. 4.2.1 p.241 f.

wenn ich für zwei empirische mittelwerte die beiden empirischen standardabweichungen [mm] s_{1} [/mm] und [mm] s_{2} [/mm] habe (quadriert wären es die emp.varianzen) und die differenz der beiden mittelwerte bilde, so habe ich für den neuen wert eine stand.abweichung [mm] s_{d} [/mm] , die sich aus der fehlerfortpflanzung ergibt:

[mm] (s_{d})^{2} [/mm] = [mm] (s_{1})^{2} [/mm]   +   [mm] (s_{2})^{2} [/mm]  

da hier mittelwerte und die aus ihnen resultierende differenz betrachtet werden, liegt das konfidenzintervall symmetrisch zum jeweiligen mittelwert bzw. dem differenzwert aus ihnen. das ist letzlich auch das, was in formel (4.2.9) steht.

komplizierter wird es, wenn du das konfidenzintervall für die varianzen (bzw. stand.abw.) der mittelwerte und der differenz betrachtest. da ist meistens keine symmetrie mehr vorhanden.



Bezug
        
Bezug
Konfidenz-Intervalle fuer Mean: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 17:48 Fr 18.11.2022
Autor: Jellal

Hi Leute,

ich schreibe es in eigenen Worten auf:

Das Central-Limit-Theorem (C.L.T) in dem Buch besagt folgendes:
Seien [mm] X_{i}, [/mm] i=1,...,n, i.i.d. Zufallsvariablen, mit [mm] E(X_{i})=\mu [/mm] und [mm] Var(X_{i})=\sigma^{2}. [/mm]
Dann konvergiert die Verteilung von [mm] \bruch{\bar{X}-\mu}{\bruch{\sigma}{\sqrt{n}}} [/mm] fuer [mm] n\to\infty [/mm] gegen die Standard-Normalverteilung [mm] \mathcal{N}(0,1), [/mm] wobei [mm] \bar{X} [/mm] der empirische Mittelwert der [mm] X_{i} [/mm] ist.
Der Satz gilt auch, wenn man fuer [mm] \sigma^{2} [/mm] die empirische Varianz [mm] S^{2} [/mm] einsetzt.

Man bemerke hier, dass die Variable [mm] \bar{X} [/mm] in dem Bruch ein Mittelwert aus i.i.d ZVs ist.


Nun zum Beispiel:
Fuer zwei ZVs X und Y gelte [mm] E(X)=\mu_{1}, E(Y)=\mu_{2}, Var(X)=\sigma_{1}^{2}, Var(Y)=\sigma_{1}^{2}. [/mm] Wir ziehen unabhaengige Stichproben [mm] X_{i}, i=1,...,n_{1}, [/mm] von X, und
[mm] Y_{i}, i=1,...,n_{2} [/mm] von Y.

Wir wollen ein Konfidenzintervall fuer die Differenz [mm] \Delta=\mu_{1}-\mu_{2} [/mm] haben.
Wir schreiben [mm] \bar{X}=\bruch{1}{n_{1}} \summe_{i=1}^{n_{1}}X_{i} [/mm] und [mm] \bar{Y}=\bruch{1}{n_{2}} \summe_{i=1}^{n_{2}}Y_{i}. [/mm] Dann ist [mm] \hat{\Delta}:= \bar{X}-\bar{Y} [/mm] ein erwartungstreuer Schaetzer fuer [mm] \Delta. [/mm]
Wegen Unabhaengigkeit der Stichproben gilt ferner [mm] Var(\hat{\Delta})=\bruch{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}} [/mm] + [mm] \bruch{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}. [/mm]
Soweit so gut. Nun wird aber gesagt, dass wegen des C.L.T die Verteilung von
[mm] Z=\frac{\hat{\Delta}-\Delta}{\sqrt{\bruch{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}} + \bruch{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}}} [/mm] gegen [mm] \mathcal{N}(0,1) [/mm] konvergiert.

Das sehe ich aber nicht ein, da [mm] \hat{\Delta} [/mm] zwar die Differenz von zwei arithmetischen Mittelwerten ist, selbst doch aber nicht geschrieben werden kann als ein arithmetischer Mittelwert (oder doch?), wie es oben im C.L.T fuer die dortige Variable [mm] \bar{X} [/mm] gefordert ist.

Wuerde mich ueber eine Erklaerung freuen!

VG.

Bezug
                
Bezug
Konfidenz-Intervalle fuer Mean: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:40 Fr 18.11.2022
Autor: statler


> Hi Leute,
>
> ich schreibe es in eigenen Worten auf:
>  
> Das Central-Limit-Theorem (C.L.T) in dem Buch besagt
> folgendes:
>  Seien [mm]X_{i},[/mm] i=1,...,n, i.i.d. Zufallsvariablen, mit
> [mm]E(X_{i})=\mu[/mm] und [mm]Var(X_{i})=\sigma^{2}.[/mm]
>  Dann konvergiert die Verteilung von
> [mm]\bruch{\bar{X}-\mu}{\bruch{\sigma}{\sqrt{n}}}[/mm] fuer
> [mm]n\to\infty[/mm] gegen die Standard-Normalverteilung
> [mm]\mathcal{N}(0,1),[/mm] wobei [mm]\bar{X}[/mm] der empirische Mittelwert
> der [mm]X_{i}[/mm] ist.

Und wenn du das so formulierst:
... wobei [mm]\bar{X}[/mm] ein erwartungstreuer Schätzer des Erwartungswertes der [mm]X_{i}[/mm] ist.

>  Der Satz gilt auch, wenn man fuer [mm]\sigma^{2}[/mm] die
> empirische Varianz [mm]S^{2}[/mm] einsetzt.
>  
> Man bemerke hier, dass die Variable [mm]\bar{X}[/mm] in dem Bruch
> ein Mittelwert aus i.i.d ZVs ist.
>  
>
> Nun zum Beispiel:
>  Fuer zwei ZVs X und Y gelte [mm]E(X)=\mu_{1}, E(Y)=\mu_{2}, Var(X)=\sigma_{1}^{2}, Var(Y)=\sigma_{1}^{2}.[/mm]
> Wir ziehen unabhaengige Stichproben [mm]X_{i}, i=1,...,n_{1},[/mm]
> von X, und
> [mm]Y_{i}, i=1,...,n_{2}[/mm] von Y.
>  
> Wir wollen ein Konfidenzintervall fuer die Differenz
> [mm]\Delta=\mu_{1}-\mu_{2}[/mm] haben.
>  Wir schreiben [mm]\bar{X}=\bruch{1}{n_{1}} \summe_{i=1}^{n_{1}}X_{i}[/mm]
> und [mm]\bar{Y}=\bruch{1}{n_{2}} \summe_{i=1}^{n_{2}}Y_{i}.[/mm]
> Dann ist [mm]\hat{\Delta}:= \bar{X}-\bar{Y}[/mm] ein
> erwartungstreuer Schaetzer fuer [mm]\Delta.[/mm]
>  Wegen Unabhaengigkeit der Stichproben gilt ferner
> [mm]Var(\hat{\Delta})=\bruch{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}[/mm] +
> [mm]\bruch{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}.[/mm]
>  Soweit so gut. Nun wird aber gesagt, dass wegen des C.L.T
> die Verteilung von
>  
> [mm]Z=\frac{\hat{\Delta}-\Delta}{\sqrt{\bruch{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}} + \bruch{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}}}[/mm]
> gegen [mm]\mathcal{N}(0,1)[/mm] konvergiert.
>  
> Das sehe ich aber nicht ein, da [mm]\hat{\Delta}[/mm] zwar die
> Differenz von zwei arithmetischen Mittelwerten ist, selbst
> doch aber nicht geschrieben werden kann als ein
> arithmetischer Mittelwert (oder doch?), wie es oben im
> C.L.T fuer die dortige Variable [mm]\bar{X}[/mm] gefordert ist.
>  
> Wuerde mich ueber eine Erklaerung freuen!

Den zentralen Grenzwertsatz gibt es in verschiedenen Abstufungen, vielleicht kriege ich dieses Buch in der Bib zu fassen. Du schreibst den Schätzer mal mit hat und mal mit bar.

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Konfidenz-Intervalle fuer Mean: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:42 So 20.11.2022
Autor: Jellal

Hallo,

ich habe es so aufgeschrieben, wie es im Buch steht.

Im C.L.T dort wird vom arithmetischen Mittelwert [mm] \bar{X} [/mm] gesprochen.
Das man dort auch irgendeinen anderen Schaetzer einsetzen kann, wird nicht erwaehnt.

Spaeter im Beispiel wird [mm] \hat{\Delta}=\bar{Y}-\bar{X} [/mm] geschrieben als Schaetzer fuer [mm] \mu_{2}-\mu{1} [/mm] und der C.L.T wird einfach darauf angewendet.

Vielleicht hat der Autor hier einfach was versaeumt...

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Konfidenz-Intervalle fuer Mean: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:53 Mo 21.11.2022
Autor: Jellal

... immer noch interessiert an einem Kommentar zo obiger Frage :) ....

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Konfidenz-Intervalle fuer Mean: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:20 Fr 25.11.2022
Autor: matux

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