Konfidenzintervall < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:43 Do 26.01.2012 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Sei [mm] $X=(X_1,...,X_n)$ [/mm] eine i.i.d. Stichprobe eines [mm] $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ [/mm] verteilten Untersuchungsmerkmals $Y$. Beide Parameter sind unbekannt.
Konstruiere Sie ein zweiseitges Konfidenzintervall für [mm] $\sigma^2$ [/mm] zur Überdeckungswahrscheinlichkeit [mm] $1-\alpha$. [/mm] |
Also als Punktschätzer für [mm] $\sigma^2$ [/mm] verwende ich
[mm] $S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(\overline{X}-X_i\right)^2$.
[/mm]
Also ich habe mir das so überlegt:
Konstruiere das KI um [mm] $S^2$, [/mm] also [mm] $[S^2-d,S^2+d]$, [/mm] wobei
[mm] $P(\sigma^2 \leq S^2-d)=\alpha/2$ [/mm] und
[mm] $P(\sigma^2 [/mm] > [mm] S^2+d)=\alpha/2$
[/mm]
Ich will jetzt das $d$ bestimmen.
[mm] $P(\sigma^2< S^2-d)=\alpha/2 \Leftrightarrow P(S^2>d+\sigma^2)=\alpha/2$
[/mm]
Und nun weiß man, daß [mm] $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-1)$. [/mm] Also würde ich weitermachen mit:
[mm] $P\left(\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}>\frac{(n-1)(d+\sigma^2)}{\sigma^2}\right)$
[/mm]
Kommt man damit jetzt irgendwie auf d?
Edit:
Quatsch, das kann ich ja auch viel einfacher haben, wenn ich sowieso so schon benutze, daß
[mm] $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)$.
[/mm]
Dann weiß man ja
[mm] $P\left(-z_{1-\alpha/2}\leq \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\leq z_{1+\alpha/2}\right)=1-\alpha$, [/mm] wobei
[mm] $z_{1-\alpha/2}$ [/mm] das Quantil der chi-quadrat-Verteilung bei n-1 Freiheitsgraden sein soll.
Und dann einfach so umformen, das [mm] $\sigma^2$ [/mm] in der Mitte steht und fertig ist die Laube...
Sehe ich das richtig?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 Do 26.01.2012 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | (Diese Aufgabe bezieht sich auch die obige Aufgabe.)
Wie lautet das Konfidenzintervall für [mm] $1-\alpha=0.95$, [/mm] falls bei $n=15$ die Beobachtungen [mm] $\sum x_i=36$ [/mm] und [mm] $\sum x_i^2=114$ [/mm] vorliegen? |
Ich habe dazu Folgendes gerechnet:
Als linke Konfidenzintervallgrenze:
[mm] \frac{15\cdot 2,4^2 +\sum_{i=1}^{15}x_i^2-4.8\cdot \sum_{i=1}^{15}x_i}{-26,119}=-1.0567$
[/mm]
Und entsprechend für die rechte KI-Grenze: 1.0567
Das KI ist bei mir also
[-1.0567, 1.0567]
Ist das korrekt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:19 Sa 28.01.2012 | | Autor: | luis52 |
> Das KI ist bei mir also
>
> [-1.0567, 1.0567]
>
> Ist das korrekt?
Leider kapiere ich deine Rechnung ueberhaupt nicht.
*Ich* erhalte fuer [mm] $s^2=((144/15)-(36/15)^2)\cdot15/14=5.57$. [/mm] Du auch?
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 Sa 28.01.2012 | | Autor: | dennis2 |
Nee, ich komme irgendwie auf was Anderes für [mm] $S^2$.
[/mm]
Ich muss doch rechnen:
[mm] $S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{15}(\overline{X}-X_i)^2$
[/mm]
Nun ist hier ja [mm] $\overline{X}=36/15$ [/mm] und $n=15$.
Dann rechne ich wegen
[mm] $S^2=\frac{1}{14}\sum_{i=1}^{15}\left[\overline{X}^2-2\overline{X}X_i+X_i^2\right]$:
[/mm]
Die Summe ist m.E [mm] 15\cdot \overline{X}^2-2\overline{X}\left(\sum_{i=1}^{15}X_i\right)+\sum_{i=1}^{15}X_i^2=15\cdot \left(\frac{36}{15}\right)^2-2\cdot\frac{36}{15}\cdot [/mm] 36+114=27,6$ und dies durch 14 dividiert, ist 1,97143
Was mache ich verkehrt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:14 Sa 28.01.2012 | | Autor: | luis52 |
> Die Summe ist m.E [mm]15\cdot \overline{X}^2-2\overline{X}\left(\sum_{i=1}^{15}X_i\right)+\sum_{i=1}^{15}X_i^2=15\cdot \left(\frac{36}{15}\right)^2-2\cdot\frac{36}{15}\cdot[/mm]
> 36+114=27,6$ und dies durch 14 dividiert, ist 1,97143
>
> Was mache ich verkehrt?
Gar nichts, *ich* habe mich verrechnet. Und wie geht es weiter?
Ich errechne das Intervall [1.056704,4.903419] ...
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:47 Sa 28.01.2012 | | Autor: | dennis2 |
Hab ich (jetzt) auch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:10 Fr 27.01.2012 | | Autor: | dennis2 |
Ich wundere michz, daß noch gar keine Reaktion kam.
Entweder ist meine Idee so schlimm, daß alle die Hände überm Kopf zusammenschlagen anstatt zu tippen oder sie stimmt und es denkt jeder, daß eine Antwort nicht nötig ist. 
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Hallo,
warte einfach, bis luis52 sich wieder eingeloggt hat.
Sobald er die Aufgabe sieht, wird er sicher zubeißen - er ist der Spezialist 
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:25 Fr 27.01.2012 | | Autor: | dennis2 |
Okay, das war mir nicht klar. Danke für den Hinweis.
Mal schauen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:13 Sa 28.01.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin,
der "Spezialist" meldet sich aus dem Off zurueck ...
Dein Edit ist okay.
vg Luis
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