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Konfidenzintervall, Näherung: Frage zu Text im Mathebuch
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:02 Do 18.01.2018
Autor: Mathemurmel

Aufgabe
Konfidenzintervall,  Näherungsverfahren zur Bestimmung von Konfidenzintervallen  
Aufgabe im Buch: Bestimmung von Anteilen in der Gesamtheit  
Bei einer Befragung von 500 zufällig (repräsentativ) ausgewählten Personen einer Großstadt gaben 273 an, bei einer bevorstehenden Oberbürgermeister-Direktwahl den bisherigen Amtsinhaber wählen zu wollen.
Kann der Kandidat auf die Mehrheit der Stimmen hoffen?
Bestimme dazu alle Anteile p in der Gesamtheit, in deren 95%-Umgebung das Stichprobenergebnis liegt.
In der im Buch angegebenen Lösung wird das Konfidenzintervall berechnet:
500p - 1,96 ⋅ √ ¯(500 ⋅p ⋅(1-p)) = 273  bzw.  500p + 1,96 ⋅ √ ¯(500 ⋅p ⋅(1-p)) = 273
1,96 ⋅ √ ¯(500 ⋅p ⋅(1-p)) = |273 - 500p|    Quadrieren:
1921p – 1921 [mm] p^2 [/mm] = 74529 – 273000p + [mm] 250000p^2 [/mm]
[mm] 251921p^2 [/mm] – 274921p = - 74529
……..    p = 0,5891   oder   p = 0,5021
Runden zur sicheren Seite   p_min = 0,503   bzw.  p_max = 0,589
(2) Näherungsverfahren zur Bestimmung von Konfidenzintervallen  
Unter bestimmten Voraussetzungen lässt sich das o.a. Rechenverfahren verkürzen: Das Rechenverfahren ist aufwändig, weil p auf beiden Seiten der Gleichung auftritt. Falls  0,3 < p < 0,7 ist, kann man den Wert von p auf der rechten Seite der Gleichung (unter der Wurzel) durch den Wert von p auf der rechten Seite der Gleichung (unter der Wurzel) durch den Wert der relativen Häufigkeit X/n annähern, d.h. man ersetzt auf der rechten Seite der Gleichung die Standardabweichung σ durch einen Näherungswert.
Beispiel: n = 500;  X = 273;  X/n = 0546,   also   σ ≈ √ ¯(500 ⋅0,546 ⋅0,454)
Die Rechnung reduziert sich dann auf die Lösung einer einfachen Betragsgleichung:
|273 - 500p| = 1,96 ⋅ √ ¯(500 ⋅0,546 ⋅0,454),     d.h.  |273 - 500p| = 21,82, also
500p = 273 + 21,82   oder   500p = 273 - 21,82,  
d.h.   p_max = 0,5896   bzw.   p_min = 0,5024
zur sicheren Seite runden  gleiche Lösungen wie oben beim ausführlichen (exakten) Verfahren.

Meine Frage:  Für das Näherungsverfahren wird vorausgesetzt:  0,3 < p < 0,7.
p ist aber doch gar nicht bekannt, wie kann ich dann prüfen, ob es zwischen 0,3 und 0,7 liegt?

        
Bezug
Konfidenzintervall, Näherung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:09 Fr 19.01.2018
Autor: Eisfisch

Meine Frage:  Für das Näherungsverfahren wird vorausgesetzt:  0,3 < p < 0,7.
p ist aber doch gar nicht bekannt, wie kann ich dann prüfen, ob es zwischen 0,3 und 0,7 liegt?

meine Antwort: Nö, kannste nicht.

Aber die Näherungslösung ist nur dann einigermaßen als Näherungslösung genähert gültig, wenn p im angegebenen Bereich liegt. Mit den Werten k=273 und n=500 kommt p=0,546 heraus.
Wie groß (oder stark) kann dieser Wert (von rund p=0,5) noch abweichen? Nach unten nicht, nach oben bis 1,0 (falls alle anderen  noch zu fragenden 227 Leute auch mit JA stimmen würden).

Die in 2) genannate Approximation entspricht der "Einfache Approximation durch die Normalverteilung", vgl.Wkipedia, s.u.  Dort wird die Näherung begleitet durch die Forderung:

Wenn diese Formel verwendet wird, sollte k [mm] \ge [/mm] 50  und n − k [mm] \ge [/mm] 50 sein.
Das ist mit k=273>50 und n-k=227>50 erfüllt. Vielleicht ist die Forderung aus Wiki besser (i.S.v. klarer) als die Angabe in deinem Mathebuch?


Q: Einfache Approximation durch die Normalverteilung  bei: Konfidenzintervall für die Erfolgswahrscheinlichkeit der Binomialverteilung  in: []https://de.wikipedia.org/wiki/Konfidenzintervall_f%C3%BCr_die_Erfolgswahrscheinlichkeit_der_Binomialverteilung




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