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Konfigurationsraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:30 Mo 26.09.2016
Autor: Die_Suedkurve

Hallo zusammen,

ich habe eine Frage zum Konfigurationsraum. Dieser ist wie folgt definiert:

[mm] \Gamma [/mm] := [mm] \{ \gamma \subset \IR^d | \forall K \subset \IR^d kompakt: \# (\gamma \cap K) < \infty \}. [/mm]

Behauptung: Jedes [mm] \gamma \in \Gamma [/mm] ist leer, endlich oder abzählbar unendlich.

Meine Frage: Die ersten beiden Möglichkeiten sind klar. Aber wenn [mm] \gamma [/mm] unendlich viele Punkte hat, wieso müssen es dann abzählbar viele sein?

Anmerkung: Ich betrachte den euklidischen [mm] \IR^d. [/mm]

Bin für Hilfe dankbar.

Grüße

        
Bezug
Konfigurationsraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:37 Mo 26.09.2016
Autor: fred97


> Hallo zusammen,
>  
> ich habe eine Frage zum Konfigurationsraum. Dieser ist wie
> folgt definiert:
>  
> [mm]\Gamma[/mm] := [mm]\{ \gamma \subset \IR^d | \forall K \subset \IR^d kompakt: \# (\gamma \cap K) < \infty \}.[/mm]
>  
> Behauptung: Jedes [mm]\gamma \in \Gamma[/mm] ist leer, endlich oder
> abzählbar unendlich.
>  
> Meine Frage: Die ersten beiden Möglichkeiten sind klar.
> Aber wenn [mm]\gamma[/mm] unendlich viele Punkte hat, wieso müssen
> es dann abzählbar viele sein?

sei [mm] K_n [/mm] die kompakte Kugel um 0 mit Radius n. Dann ist [mm] \gamma [/mm] gerade die Vereinigung der Mengen [mm] \gamma \cap K_n. [/mm]

fred


>  
> Anmerkung: Ich betrachte den euklidischen [mm]\IR^d.[/mm]
>  
> Bin für Hilfe dankbar.
>  
> Grüße


Bezug
                
Bezug
Konfigurationsraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:47 Mo 26.09.2016
Autor: Die_Suedkurve


> sei [mm]K_n[/mm] die kompakte Kugel um 0 mit Radius n. Dann ist
> [mm]\gamma[/mm] gerade die Vereinigung der Mengen [mm]\gamma \cap K_n.[/mm]
>  
> fred

Jedes [mm] \gamma \cap K_n [/mm] hat dann ja nach Definition endlich viele Punkte.
Argumentierst du dann so, dass eine abzählbare Vereinigung von Mengen mit endlich vielen Punkten wieder abzählbar sein muss?

Bezug
                        
Bezug
Konfigurationsraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:54 Mo 26.09.2016
Autor: tobit09

Hallo Die_Suedkurve!


> > sei [mm]K_n[/mm] die kompakte Kugel um 0 mit Radius n. Dann ist
> > [mm]\gamma[/mm] gerade die Vereinigung der Mengen [mm]\gamma \cap K_n.[/mm]

> Jedes [mm]\gamma \cap K_n[/mm] hat dann ja nach Definition endlich
> viele Punkte.
>  Argumentierst du dann so, dass eine abzählbare
> Vereinigung von Mengen mit endlich vielen Punkten wieder
> abzählbar sein muss?

Genau.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                                
Bezug
Konfigurationsraum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:08 Mo 26.09.2016
Autor: Die_Suedkurve

Okay, dann weiß ich Bescheid. Danke euch beiden.

Bezug
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