Kongruente Matrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:10 Mo 09.02.2015 | | Autor: | eva4eva |
Ich versuche mir gerade einen Überblick über Äquivalenzklassen und Normalformen zu verschaffen. Dabei stoße ich auf die Äq.klasse "Kongruenz":
quadr. Matrizen A,B Kongruent <=> es gibt quadr. Matrix S mit [mm] S^{T}AS=B
[/mm]
Ferner :
quadr. Matrizen A,B ähnlich <=> es gibt quadr. Matrix S mit [mm] S^{-1}AS=B
[/mm]
Kann ich daraus folgern, dass durch
A symmetrisch <=> [mm] A^{-1}=A^T [/mm] gilt:
Kongruenz ist nichts anderes als eine spezielle Form der Ähnlichkeit, nämlich der Ähnlichkeit symmetrischer Matrizen. (?)
Also reicht es, sich das einzuprägen, oder ist das eine unvollständige Sichtweise auf die Kongruenz?
Und was wäre denn die Normalform kongruenter Matrizen? Das müsste doch auch eine Matrix Diagonalform sein, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:25 Mo 09.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> Ich versuche mir gerade einen Überblick über
> Äquivalenzklassen und Normalformen zu verschaffen. Dabei
> stoße ich auf die Äq.klasse "Kongruenz":
>
> quadr. Matrizen A,B Kongruent <=> es gibt quadr. Matrix S
> mit [mm]S^{T}AS=B[/mm]
Du hast etwas wichtiges vergessen: A,B kongruent <=> es gibt quadr. und invertierbare(!) Matrix S mit [mm]S^{T}AS=B[/mm]
>
> Ferner :
>
> quadr. Matrizen A,B ähnlich <=> es gibt quadr. Matrix S
> mit [mm]S^{-1}AS=B[/mm]
>
> Kann ich daraus folgern, dass durch
> A symmetrisch <=> [mm]A^{-1}=A^T[/mm] gilt:
Das verstehe ich nicht !
>
> Kongruenz ist nichts anderes als eine spezielle Form der
> Ähnlichkeit, nämlich der Ähnlichkeit symmetrischer
> Matrizen. (?)
Wo kommen immer diese symmetrischen Matrizen her ??
Wenn A und B kongruent sind, so sind sie auch ähnlich. Das Umgekehrte ist i.a. falsch.
FRED
>
> Also reicht es, sich das einzuprägen, oder ist das eine
> unvollständige Sichtweise auf die Kongruenz?
>
> Und was wäre denn die Normalform kongruenter Matrizen? Das
> müsste doch auch eine Matrix Diagonalform sein, oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 Mo 09.02.2015 | | Autor: | eva4eva |
> > Ich versuche mir gerade einen Überblick über
> > Äquivalenzklassen und Normalformen zu verschaffen. Dabei
> > stoße ich auf die Äq.klasse "Kongruenz":
> >
> > quadr. Matrizen A,B Kongruent <=> es gibt quadr. Matrix S
> > mit [mm]S^{T}AS=B[/mm]
>
> Du hast etwas wichtiges vergessen: A,B kongruent <=> es
> gibt quadr. und invertierbare(!) Matrix S mit [mm]S^{T}AS=B[/mm]
> >
> > Ferner :
> >
> > quadr. Matrizen A,B ähnlich <=> es gibt quadr. Matrix S
> > mit [mm]S^{-1}AS=B[/mm]
> >
> > Kann ich daraus folgern, dass durch
> > A symmetrisch <=> [mm]A^{-1}=A^T[/mm] gilt:
>
>
>
> Das verstehe ich nicht !
Es ist auch falsch, ich habe da vermutlich etwas verwechselt:
[mm]A^{-1}=A^T[/mm] gilt für orthogonale Matrizen.
Kann ich demnach sagen:
Kongruenz ist nichts anderes als eine spezielle Form der
Ähnlichkeit, nämlich der Ähnlichkeit ORTHOGONALER
Matrizen. (?)
>
>
> >
> > Kongruenz ist nichts anderes als eine spezielle Form der
> > Ähnlichkeit, nämlich der Ähnlichkeit symmetrischer
> > Matrizen. (?)
>
> Wo kommen immer diese symmetrischen Matrizen her ??
Der Ort ist finster und nicht von dieser Welt!
Stimmt das: (?)
> > Und was wäre denn die Normalform kongruenter Matrizen? Das
> > müsste doch auch eine Matrix Diagonalform sein, oder?
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:59 Mo 09.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> > > Ich versuche mir gerade einen Überblick über
> > > Äquivalenzklassen und Normalformen zu verschaffen. Dabei
> > > stoße ich auf die Äq.klasse "Kongruenz":
> > >
> > > quadr. Matrizen A,B Kongruent <=> es gibt quadr. Matrix S
> > > mit [mm]S^{T}AS=B[/mm]
> >
> > Du hast etwas wichtiges vergessen: A,B kongruent <=> es
> > gibt quadr. und invertierbare(!) Matrix S mit [mm]S^{T}AS=B[/mm]
> > >
> > > Ferner :
> > >
> > > quadr. Matrizen A,B ähnlich <=> es gibt quadr. Matrix S
> > > mit [mm]S^{-1}AS=B[/mm]
> > >
> > > Kann ich daraus folgern, dass durch
> > > A symmetrisch <=> [mm]A^{-1}=A^T[/mm] gilt:
> >
> >
> >
> > Das verstehe ich nicht !
>
>
> Es ist auch falsch, ich habe da vermutlich etwas
> verwechselt:
>
> [mm]A^{-1}=A^T[/mm] gilt für orthogonale Matrizen.
>
> Kann ich demnach sagen:
>
> Kongruenz ist nichts anderes als eine spezielle Form der
> Ähnlichkeit, nämlich der Ähnlichkeit ORTHOGONALER
> Matrizen. (?)
Nein. Ich hab keine Ahnung , worauf Du hinazs willst.
> >
> >
> > >
> > > Kongruenz ist nichts anderes als eine spezielle Form der
> > > Ähnlichkeit, nämlich der Ähnlichkeit symmetrischer
> > > Matrizen. (?)
> >
> > Wo kommen immer diese symmetrischen Matrizen her ??
>
> Der Ort ist finster und nicht von dieser Welt!
Ach Du dickes Ei. Wirds jetzt esoterisch ?
FRED
>
> Stimmt das: (?)
> > > Und was wäre denn die Normalform kongruenter
> Matrizen? Das
> > > müsste doch auch eine Matrix Diagonalform sein, oder?
> >
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:12 Mo 09.02.2015 | | Autor: | eva4eva |
> > > > Ich versuche mir gerade einen Überblick über
> > > > Äquivalenzklassen und Normalformen zu verschaffen. Dabei
> > > > stoße ich auf die Äq.klasse "Kongruenz":
> > > >
> > > > quadr. Matrizen A,B Kongruent <=> es gibt quadr. Matrix S
> > > > mit [mm]S^{T}AS=B[/mm]
> > >
> > > Du hast etwas wichtiges vergessen: A,B kongruent <=> es
> > > gibt quadr. und invertierbare(!) Matrix S mit [mm]S^{T}AS=B[/mm]
> > > >
> > > > Ferner :
> > > >
> > > > quadr. Matrizen A,B ähnlich <=> es gibt quadr. Matrix S
> > > > mit [mm]S^{-1}AS=B[/mm]
> > > >
> > > > Kann ich daraus folgern, dass durch
> > > > A symmetrisch <=> [mm]A^{-1}=A^T[/mm] gilt:
> > >
> > >
> > >
> > > Das verstehe ich nicht !
> >
> >
> > Es ist auch falsch, ich habe da vermutlich etwas
> > verwechselt:
> >
> > [mm]A^{-1}=A^T[/mm] gilt für orthogonale Matrizen.
> >
> > Kann ich demnach sagen:
> >
> > Kongruenz ist nichts anderes als eine spezielle Form der
> > Ähnlichkeit, nämlich der Ähnlichkeit ORTHOGONALER
> > Matrizen. (?)
>
> Nein. Ich hab keine Ahnung , worauf Du hinazs willst.
Ich glaube ich verwechsle da die Bedeutung der jeweils invertierbaren Matrix einerseits und der zueinander in Relation stehenden Matrizen andererseits.
Für ähnliche Matrizen gilt
[mm] S^{-1}AS=B
[/mm]
Für kongruente Matrizen:
[mm] S^{T}AS=B
[/mm]
Das ist ja fast dasselbe. "Fast" heißt: Ist [mm] S^{-1}=S^{T}, [/mm] dann ist das dasselbe. Und dies sollte der Fall sein für S:orthogonal (nicht symmetrisch!).
Nur vermute ich, dass diese Erkenntnis nichts bringt, denn dadurch sind ja nicht A,B orthogonal, was ich mich irgendwie einreden wollte.
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> > > > Kongruenz ist nichts anderes als eine spezielle Form der
> > > > Ähnlichkeit, nämlich der Ähnlichkeit symmetrischer
> > > > Matrizen. (?)
> > >
> > > Wo kommen immer diese symmetrischen Matrizen her ??
> >
> > Der Ort ist finster und nicht von dieser Welt!
>
> Ach Du dickes Ei. Wirds jetzt esoterisch ?
Irgendwie muss man ja versuchen, das Paradox aufzulösen: Antworten auf Fragen finden, für die es keine Antworten gibt.
Bleibt noch:
> >
> > Stimmt das: (?)
> > > > Und was wäre denn die Normalform kongruenter
> > Matrizen? Das
> > > > müsste doch auch eine Matrix Diagonalform sein, oder?
> > >
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:21 Mi 11.02.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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