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Kongruenz: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:39 Fr 17.03.2006
Autor: ronald

Aufgabe
Für welche Elemente a [mm] \in \IZ_{132} [/mm] gilt [mm] a^{4000001}=a. [/mm]

Hallo,
kann mir vielleicht jemand einen Tipp für diese Aufgabe geben? Ich sitze schon seit ne weile dran und habe bis jetzt ausser die trivialen Lösungen 0 und 1 keine weitere finden können.
Danke!

LG
Ronald
        
Bezug
Kongruenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:53 Fr 17.03.2006
Autor: felixf

Hallo Ronald!

> Für welche Elemente a [mm]\in \IZ_{132}[/mm] gilt [mm]a^{4000001}=a.[/mm]
>  Hallo,
>  kann mir vielleicht jemand einen Tipp für diese Aufgabe
> geben? Ich sitze schon seit ne weile dran und habe bis
> jetzt ausser die trivialen Lösungen 0 und 1 keine weitere
> finden können.

Es gibt da verschiedene Tipps:
- Erstmal kannst du das Problem mit dem []Chinesischen Restsatz in mehrere Teilprobleme zerlegen.
- Dann kannst du mit dem []Satz von Euler (oder mit dem []kleinem Fermatschen Satz) zusammen mit Division mit Rest (es ist ja [mm] $a^{q g + r} [/mm] = [mm] (a^q)^g a^r$) [/mm] zwei der Teilprobleme erledigen.
- Das dritte Teilproblem (modulo $4$) kannst du von Hand und zusammen mit dem Satz von Euler bzw. kleinen Satz von Fermat loesen.
- Dann kannst du wieder mit dem Chinesischen Restsatz alles zu einer Gesamtloesung zusammensetzen.

Kommst du damit weiter?

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Kongruenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:45 Fr 17.03.2006
Autor: ronald

Hallo Felix,
danke für die Tipps. Aber ich scheitere schon an der Problemzerlegung. Ich denke ich muss mod irgendwie einbringen und den Exponenten geschickt zerlegen. Leider weiß ich nicht, wie ich den chinesischen Restsatz hier anwenden soll. Kannst du vielleich noch bisschen mehr details zum ersten Tipp verraten?
danke

Grüsse
Ronald
Bezug
                        
Bezug
Kongruenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:10 Fr 17.03.2006
Autor: felixf

Hallo Ronald,

>  danke für die Tipps. Aber ich scheitere schon an der
> Problemzerlegung. Ich denke ich muss mod irgendwie
> einbringen und den Exponenten geschickt zerlegen. Leider
> weiß ich nicht, wie ich den chinesischen Restsatz hier
> anwenden soll. Kannst du vielleich noch bisschen mehr
> details zum ersten Tipp verraten?

du musst auch beim ersten Schritt nicht den Exponenten zerlegen (das kommt erst spaeter), sondern den Modulus. Es ist ja $132 = [mm] 2^2 \cdot [/mm] 3 [mm] \cdot [/mm] 11$, womit nach dem Chinesischen Restsatz die Gleichung [mm] $x^{4000001} \equiv [/mm] x [mm] \pmod{132}$ [/mm] aequivalent ist zu dem Gleichungssystem [mm] $x^{4000001} \equiv [/mm] x [mm] \pmod{2^2}$, $x^{4000001} \equiv [/mm] x [mm] \pmod{3}$, $x^{4000001} \equiv [/mm] x [mm] \pmod{11}$. [/mm]

Jetzt kannst du jede der einzelnen Gleichungen betrachten und sie loesen, und dann die Loesungen (du brauchst ja nur die Anzahl zwischen $0$ und Modulus (exklusive)) zu Loesungen der Originalgleichung zusammenzusetzen (bzw. nur die Anzahl herausfinden).

Kommst du damit weiter?

LG Felix

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