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Forum "Zahlentheorie" - Kongruenz hat keine Lösung
Kongruenz hat keine Lösung < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Kongruenz hat keine Lösung: Kongruenz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:36 Di 09.12.2014
Autor: mathestudent222

Aufgabe
Zeige, dass [mm] $a^2+1\equiv [/mm] 0 [mm] \mod 2^k$ [/mm] für [mm] $k\geq [/mm] 2$ keine Lösung hat.

In meinem Skript steht, dass dies trivial sei. Auf den ersten Blick sehe ich dies allerdings nicht. Zu zeigen ist ja, dass [mm] $2^k$ [/mm] kein Teiler von [mm] $a^2+1$ [/mm] ist. Ist das wirklich so leicht zu sehen?

        
Bezug
Kongruenz hat keine Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:47 Di 09.12.2014
Autor: reverend

Hallo,

> Zeige, dass [mm]a^2+1\equiv 0 \mod 2^k[/mm] für [mm]k\geq 2[/mm] keine
> Lösung hat.
>  In meinem Skript steht, dass dies trivial sei. Auf den
> ersten Blick sehe ich dies allerdings nicht. Zu zeigen ist
> ja, dass [mm]2^k[/mm] kein Teiler von [mm]a^2+1[/mm] ist. Ist das wirklich so
> leicht zu sehen?

Ja, ist es.
Wann ist [mm] a^2+1\equiv 0\bmod{4} [/mm] ?

Grüße
reverend


Bezug
                
Bezug
Kongruenz hat keine Lösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:55 Di 09.12.2014
Autor: mathestudent222

Laut dem zu Zeigendem nie. Aber wie kann ich das am Besten formal aufschreiben?

Bezug
                        
Bezug
Kongruenz hat keine Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:48 Di 09.12.2014
Autor: abakus


> Laut dem zu Zeigendem nie. Aber wie kann ich das am Besten
> formal aufschreiben?

Fallunterscheidung: a lässt bei Teilung durch 4 den Rest 0 oder 1 oder 2 oder 3.
Welchen Rest lässt dann [mm] $a^2$? [/mm]
Welchen Rest lässt dann [mm] $a^2+1$? [/mm]

Bezug
                                
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Kongruenz hat keine Lösung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:40 Di 09.12.2014
Autor: mathestudent222

Vielen Dank, mit der Fallunterscheidung sieht man, dass immer Rest bleibt. Warum das für Allgemeines [mm] $2^k$ [/mm] trivial ist, sehe ich jedoch nicht.

Bezug
                                        
Bezug
Kongruenz hat keine Lösung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:43 Di 09.12.2014
Autor: reverend

Hallo nochmal,

> Vielen Dank, mit der Fallunterscheidung sieht man, dass
> immer Rest bleibt.

Eben.

> Warum das für Allgemeines [mm]2^k[/mm] trivial
> ist, sehe ich jedoch nicht.  

Hm. Jetzt mal ehrlich...
Für [mm] k\ge{2} [/mm] ist [mm] 2^k [/mm] sicher durch 4 teilbar.

Grüße
reverend

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Kongruenz hat keine Lösung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:47 Di 09.12.2014
Autor: mathestudent222

Aja, klar. Danke nochmals! :)

Bezug
                                        
Bezug
Kongruenz hat keine Lösung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:44 Di 09.12.2014
Autor: abakus


> Vielen Dank, mit der Fallunterscheidung sieht man, dass
> immer Rest bleibt. Warum das für Allgemeines [mm]2^k[/mm] trivial
> ist, sehe ich jedoch nicht.

Hallo,
ab k=2 ist [mm] $2^k$ [/mm] immer ein Vielfaches von 4.

Bezug
        
Bezug
Kongruenz hat keine Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:34 Mi 10.12.2014
Autor: fred97

Klar dürfte sein, dass eine ungerade Zahl nicht durch [mm] 2^k [/mm] teilbar ist (k [mm] \ge [/mm] 1).

Fall 1: a ist gerade, also von der Form a=2k. Dann ist [mm] a^2+1=4k^2+1. [/mm]

[mm] a^2+1 [/mm] ist also ungerade. Fertig.

Fall 2: a ist ungerade, also von der Form a=2k+1. Dann ist

  [mm] a^2+1=2(2k^2+2k+1). [/mm]

[mm] a^2+1 [/mm] ist also durch 2 teilbar. Da [mm] 2k^2+2k+1 [/mm] ungerade ist, ist [mm] a^2+1 [/mm] für kein k [mm] \ge [/mm] 2 teilbar durch [mm] 2^k. [/mm]

FRED

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