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Kongruenz modulo m: Beweisen von Modulo
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:56 Mo 16.01.2017
Autor: AChristin

Aufgabe 1
a) Finden Sie unendlich viele Zahlen m∈ℕ und für jedes m passende Zahlen a,b∈ℤ, so dass a2≡b2modm aber a≡ (!=,weiß nicht wie es mit Modulo geht) b mod m.

b) Gilt dieses Gesetzt:

Seien m∈ℤ und a,b,c∈ℤ. Dann folgt aus a+c≡b+cmodm, dass a≡b mod m gilt.



c) Gilt dieses Gesetz:

Seien m∈ℤ und a,b,c∈ℤ {0}. Weiter sei c kein ganzzahliges Vielfaches von m. Dann folgt aus ac -= bc mod m, dass a≡b modm gilt.

Aufgabe 2
a) Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
i) Unter drei aufeinander folgenden ganzen Zahlen ist immer eine durch 3 teilbar.
ii) Unter vier aufeinander folgende ganzen Zahle ist immer eine durch 4 teilbar.

b) sei n ∈ ℕ. Zeigen Sie, dass dann gilt: [mm] n^4 [/mm] + [mm] n^3 [/mm] - [mm] n^2 [/mm] - n ≡ [mm] -n^3+ [/mm] n mod 24

Also, Aufgabe 1:
a) Ich bekomme da überhaut keine Ansätzte...

b) ICh habe da ein Gegenbeispiel, keine Ahnung ob das richtig ist, da fange ich gerade etwas an zu zweifeln...

c) Habe ich ebenfalls raus, das es nicht geht.

Aufgabe 2:

a) i) Hat das was mit den Restklassen zu tun? Es bleiben die Restklassen 0, +1 und +2 über, und das wäre zusammen gerechnet 3 und daher durch 3 teilbar?

ii) Das weiß ich irgendwie nicht..

b) Komme auch da mit dem Beweis nciht weiter. habe nciht mal einen Ansatz. Noch nie so einen Beweis gemacht...

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/Kongruenz-modulo


        
Bezug
Kongruenz modulo m: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:40 Mo 16.01.2017
Autor: wauwau


> a) Finden Sie unendlich viele Zahlen m∈ℕ und für jedes
> m passende Zahlen a,b∈ℤ, so dass a2≡b2modm aber a≡
> (!=,weiß nicht wie es mit Modulo geht) b mod m.

$m=2k, a=k+b$, dann ist klarerweise $a [mm] \not\equiv [/mm] b(m)$
[mm] $2a=2(k+b)=m+b\equiv [/mm] b(m)$



>  
> b) Gilt dieses Gesetzt:
>  
> Seien m∈ℤ und a,b,c∈ℤ. Dann folgt aus
> a+c≡b+cmodm, dass a≡b mod m gilt.

[mm] $a+c\equiv [/mm] b+c(m)$ bedeutet ja $a+c=km+b+c$ für ein bestimmtes $k$
und da kannst du das $c$ dann kürzen.

>  
>
>
> c) Gilt dieses Gesetz:
>  
> Seien m∈ℤ und a,b,c∈ℤ {0}. Weiter sei c kein
> ganzzahliges Vielfaches von m. Dann folgt aus ac -= bc mod
> m, dass a≡b modm gilt.

Gegenbeispiel:
$7.2 [mm] \equiv [/mm] 1.2(4)$ aber $7 [mm] \not\equiv [/mm] 1(4)$

>  a) Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
> i) Unter drei aufeinander folgenden ganzen Zahlen ist immer
> eine durch 3 teilbar.

Das bringst du doch selbst zusammen!!

>  ii) Unter vier aufeinander folgende ganzen Zahle ist immer
> eine durch 4 teilbar.

geht wie i)

>  
> b) sei n ∈ ℕ. Zeigen Sie, dass dann gilt: [mm]n^4[/mm] + [mm]n^3[/mm] -
> [mm]n^2[/mm] - n ≡ [mm]-n^3+[/mm] n mod 24


nach b von Aufgabe 1 gilt ja dann
[mm] $n^4+2n^2-n^2-2n \equiv [/mm] 0(24)$
[mm] $(n-1)n(n+1)(n+2)\equiv [/mm]  0(24)$
und nun wende i) und ii) von Aufgabe zwei an.


>  Also, Aufgabe 1:
>  a) Ich bekomme da überhaut keine Ansätzte...
>
> b) ICh habe da ein Gegenbeispiel, keine Ahnung ob das
> richtig ist, da fange ich gerade etwas an zu zweifeln...
>
> c) Habe ich ebenfalls raus, das es nicht geht.
>
> Aufgabe 2:
>
> a) i) Hat das was mit den Restklassen zu tun? Es bleiben
> die Restklassen 0, +1 und +2 über, und das wäre zusammen
> gerechnet 3 und daher durch 3 teilbar?
>
> ii) Das weiß ich irgendwie nicht..
>
> b) Komme auch da mit dem Beweis nciht weiter. habe nciht
> mal einen Ansatz. Noch nie so einen Beweis gemacht...
>  
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>  http://www.onlinemathe.de/forum/Kongruenz-modulo
>  


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