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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:25 Di 13.03.2007 | | Autor: | RedHead |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle r [mm] \in \IZ [/mm] , für die gilt
4 [mm] \equiv [/mm] r mod 8,
22 [mm] \equiv [/mm] r mod 35,
51 [mm] \equiv [/mm] r mod 93. |
Hi,
Ich hab folgende Aufgabe:
7 [mm] \equiv [/mm] r mod 9
11 [mm] \equiv [/mm] r mod 14
17 [mm] \equiv [/mm] r mod 25
Meine Lösungsansätze sind ungefähr dieselben die ich aus einem skript kopiert habe, allerdings ist ganz am ende ein Schritt mehr als ich gemacht habe und mir ist absolut nicht klar wie man daruf kommen soll. Vielleicht kann mir ja jemand von euch weiter helfen.
1. Schritt: Wir bestimmen zunächst alle s [mm] \in \IZ, [/mm] für die gilt
(1)
7 [mm] \equiv [/mm] s mod 9,
11 [mm] \equiv [/mm] s mod 14
Eine ganze Zahl s [mm] \in \IZ [/mm] erfüllt genau dann die Relationen (1), wenn gilt
(2) s [mm] \in [/mm] (7 + [mm] 9\IZ) [/mm] (11 + [mm] 14\IZ),
[/mm]
d.h. wenn es x, y [mm] \in \IZ [/mm] gibt, so dass gilt
(3) s = 7 + 9x = 11 + 14y.
Durch Umformung erhalten wir aus (3) die diophantische Gleichung
(4) 9x - 14y = 11 - 7 = 4.
Umgekehrt liefert jede Lösung (x, y) [mm] \in \IZ [/mm] × [mm] \IZ [/mm] der Gleichung (4) durch
s := 7 + 9x =11 + 14y eine Lösung von (1) bzw. (2).
Zur Lösung der Gleichung (4) benutzen wir den erweiterten Euklidischen Algorithmus:
14 = 1 · 9 + 5,
9 = 1 · 5 + 4,
5 = 1 · 4 + 1.
Daraus folgt
1 = 5 - 1 · 4 = 5 - (9 - 5) = -9 + 2 · 5 = -9 + 2(14 - 9) = 9 · (-3) - 14 · (-2),
also
{(x, y) [mm] \in \IZ [/mm] × [mm] \IZ [/mm] : 9x - 14y = 4} = {(-12 - 14q, -8 - 9q) [mm] \in \IZ [/mm] × [mm] \IZ [/mm] : q [mm] \in \IZ}.
[/mm]
Daher erfüllt s [mm] \in \IZ [/mm] genau dann die Relationen (1), wenn es ein q [mm] \in [/mm] Z gibt, so dass gilt
s = 7 + 9(-12 - 14q) = 11 + 14(-8 - 9q) = -101 + 126 · (-q).
Dies ist gleichbedeutend mit
s [mm] \in [/mm] -101 + [mm] 126\IZ [/mm] = 25 + [mm] 126\IZ, [/mm] Wie kommt man auf diesen Schluss??
bzw. 25 [mm] \equiv [/mm] s mod 126
Von 25 + [mm] 126\IZ [/mm] nach 25 [mm] \equiv [/mm] s mod 126 zu kommen ist ja wieder klar aber wie kommt man auf diesen zwischenschritt in der beispiel rechnung steht nichts weiter drin und ich versteh auch den sinn nicht warum man diesen schritt machen soll. ?(
Bin für jede Idee dankbar.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=68764
und hier:
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=76183&start=0&lps=561133#v561133
gepostet.
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Wenn ich Dich recht verstehe, geht es Dir lediglich hierum:
> s [mm]\in[/mm] -101 + [mm]126\IZ[/mm] = 25 + [mm]126\IZ,[/mm] Wie kommt man auf
> diesen Schluss??
Gucken wir uns mal die Menge -101 + [mm] 126\IZ [/mm] an.
Das sind alle die ganzen Zahlen, die man schreiben kann als 126q - 101 mit q [mm] \in \IZ.
[/mm]
Das sind aber dieselben Zahlen, die man auch schreiben kann als 126p +25.
Denn wenn x= 126q - 101=126(q-1)+126-101=126(q-1)+25=126p+25
mit p [mm] \in \IZ.
[/mm]
Warum macht man das? Weil es üblicher, bequemer und besser vorzustellen ist, wenn man mit den Resten, die bei der Division durch 126 bleiben, rechnet.
Es sind aber wie gesagt -101 + [mm] 126\IZ [/mm] und 25 + [mm] 126\IZ [/mm] dieselben Mengen, und auch -353 + [mm] 126\IZ [/mm] und 403 + [mm] 126\IZ [/mm] enthalten dieselben Elemente wie 25 + [mm] 126\IZ. [/mm]
Gruß v. Angela
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