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| Aufgabe | 1. Zeige, dass jede Ähnlichkeit [mm] \alpha \in Aff2(\IR] [/mm] geschrieben werden kann als [mm] \alpha [/mm] = sigma s [mm] \circ [/mm] theta (wobei theta eine lineare Abbildung ist) mit s [mm] \in \IR \ge [/mm] 0 und theta [mm] \in [/mm] Euk [mm] (\IR^2)
[/mm]
Zwei Dreiecke (a1, b1, c1 ) , (a2, b2, c2) [mm] \in (\IR^2)^3 [/mm] heißen ähnlich, falls es eine Ähnlichkeit [mm] \alpha \in [/mm] Aff2 [mm] (\IR) [/mm] gibt mit [mm] (\alpha [/mm] 8a1) [mm] \alpha [/mm] (b1), [mm] \alpha [/mm] (c1)) = ( a2, b2, c2) Zeige , dass zwei Dreiecke genau dann ähnlich sind, wenn es ein s [mm] \in \IR [/mm] >0 gibt mit s|a1-b1|, s|b1-c1| |b2-c2| und s|c1-a1|= |c2-a2| |
hallo ihr,
ich hab zuerst mal nur eine kurze Frage zur Aufgabe und zwar verstehe ich nicht was Ähnlichkeit von zwei Dreiecken heißen soll also was genau das ist.
Ich hoffe das kann mir jemand erklären.
Danke im vorraus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:25 Mo 05.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
2 Dreiecke sind ähnlich, wenn ihre winkel gleich sind, oder wenn ihre Seitenverhältnisse gleich sind.
das eine Dreieck ist eine Streckung des anderen.
gruss leduart
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Um den 1. Teil zu zeigen habe ich gesagt, dass [mm] \alpha [/mm] eine affine Abbildung ist und deswegen gilt [mm] \alpha= [/mm] Tx [mm] \circ [/mm] theta (wobei theta eine lineare Abbildung ist und Tx eine Verschiebung um x) Dies gilt per Definition für affine Abbildungen. Also [mm] \alpha [/mm] ist eine Komposition aus einer linearen Abb. theta und einer Verschiebung um x Tx. Somit gilt Tx [mm] \circ [/mm] theta und Tx = sigma s. Wobei Sigma eine Verschiebung um s ist. Da dies die Definition von Ähnlichkeit ist gilt die behauptung.
Kann ich das so machen?
Zu 2. war ja z.z Es existiert ein [mm] \alpha \in Aff2(\IR) [/mm] mit [mm] (\alpha(a1), \alpha(b1), \alpha [/mm] (c1)) = (a2,b2,c2) [mm] \gdw [/mm] Es existiert s [mm] \in \IR [/mm] >0 mit s|a1-b1| = |a2-b2|, s|b1-c1|=| b2-c2|, s|c1-a1| = |c2-a2|
,, [mm] \Leftarrow" [/mm] hab ich das so gemacht : s |a1-b1| = |a2-b2| .....
[mm] \gdw [/mm] |sa1- sb1| = |a2-b2| .....
[mm] \Rightarrow [/mm] |sa1| = |a2|, |sb1|= |b2| , |sc1|= |c2|
[mm] \Rightarrow [/mm] Es existiert ein [mm] \alpha \in [/mm] Aff2( [mm] \IR [/mm] ) mit [mm] \alpha [/mm] : [mm] \IR [/mm] >0 [mm] \to \IR [/mm] : x [mm] \to [/mm] sz , x,z [mm] \in \IR [/mm]
[mm] \Rightarrow \alpha(a1) [/mm] =a2 , [mm] \alpha(b1) [/mm] = b2 [mm] \alpha [/mm] (c1)=c2
[mm] \Rightarrow (\alpha(a1), \alpha(b1), \alpha(c1)) [/mm] = (a2, b2, c2).
Für die andere Richtung hab ih so angesetzt:
Es gibt [mm] \alpha \in [/mm] Aff2( [mm] \IR [/mm] ) mit [mm] (\alpha(a1), \alpha(b1), \alpha(c1)) [/mm] = (a2, b2, c2)
[mm] \Rightarrow \alpha [/mm] ist affine Abb. der Form [mm] \alpha(x) [/mm] = mx+n
[mm] \Rightarrow [/mm] ((ma1+n), (mb1+n), (mc1+n))=(a,b,c)
[mm] \gdw [/mm] ma1+n=a , mb1+n = b, mc1+n = c
[mm] \gdw [/mm] ma1=a-n, mb1=b-n, mc1=c-n
Sei a-n=a2, b-n=b2, c-n=c2
[mm] \Rightarrow [/mm] ma1=a2, mb1 = b2, mc1=c2
Sei m=s [mm] \in \IR [/mm] >0
[mm] \Rightarrow [/mm] sa1=a2, sb1=b2, sc1=c2
Da s>0
[mm] \Rightarrow [/mm] |sa1|=|a2|, ......
und dann nur noch umformen
Kann ich das alles so machen, wo sind Fehler oder was kann ich noch anders machen?
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es wäre ganz toll wenn mir jemande sagen würde ob ich das so stehen lassen kann ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Fr 09.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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