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Kongruenz zerlegen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:55 So 24.06.2012
Autor: imagemixer

Hallo,
wie zerlege ich eigentlich eine lineare Kongruenz folgender Form:
[mm] 7x\equiv [/mm] c mod 15
in seine Primfaktoren,also so, dass ich ein dazu äquivalentes System der Form:

[mm] x\equiv [/mm]  ___ mod 3
[mm] x\equiv [/mm]  ___ mod 5
erhalte.
Wie Forme ich [mm] 7x\equiv [/mm] c mod 15 überhaupt um, so dass x links alleine steht ? Ich weiß nur wie es geht, wenn c einen bestimmten Wert annimmt und da muss man ja auch bisschen rumprobieren (ein Vielfaches von 15 auf c addieren und durch 7 teilen).

vielen Dank und
Viele liebe Grüße

        
Bezug
Kongruenz zerlegen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:08 So 24.06.2012
Autor: MathePower

Hallo imagemixer,

> Hallo,
>  wie zerlege ich eigentlich eine lineare Kongruenz
> folgender Form:
>  [mm]7x\equiv[/mm] c mod 15
>   in seine Primfaktoren,also so, dass ich ein dazu
> äquivalentes System der Form:
>  
> [mm]x\equiv[/mm]  ___ mod 3
>  [mm]x\equiv[/mm]  ___ mod 5
>  erhalte.
>  Wie Forme ich [mm]7x\equiv[/mm] c mod 15 überhaupt um, so dass x
> links alleine steht ? Ich weiß nur wie es geht, wenn c


Berechne das multiplikativ Inverse von 7 modulo 15.
Das wird mit dem []erweiterten euklidischen Algorithmus gemacht.

Dann kannst Du die Kongruenz mit diesem Inversen duchmultiplizieren.


> einen bestimmten Wert annimmt und da muss man ja auch
> bisschen rumprobieren (ein Vielfaches von 15 auf c addieren
> und durch 7 teilen).
>  
> vielen Dank und
>  Viele liebe Grüße


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Kongruenz zerlegen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:42 So 24.06.2012
Autor: imagemixer

Danke, aber bin mir noch nicht sicher:
Ist das multiplikativ Inverse von 7 modulo 15 etwa
=-2mod15 sprich 13?
Folgt dann [mm] x\equiv13c [/mm] mod 15 ?

Bezug
                        
Bezug
Kongruenz zerlegen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:52 So 24.06.2012
Autor: reverend

Hallo imagemixer,

> Danke, aber bin mir noch nicht sicher:
>  Ist das multiplikativ Inverse von 7 modulo 15 etwa
>  =-2mod15 sprich 13?

So ist es.

>  Folgt dann [mm]x\equiv13c[/mm] mod 15 ?

Auch das ist richtig.

Grüße
reverend


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Kongruenz zerlegen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:57 So 24.06.2012
Autor: imagemixer

Vielen Dank an beide Helfer.

Nur mal nebenbei:
gibt es in dem Fall:
[mm] 15x\equiv25mod35 [/mm]
kein inverses Element (die sind ja auch nicht teilerfremd)? Falls doch, habe ich es immer noch nicht verstanden.


Bezug
                                        
Bezug
Kongruenz zerlegen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:14 So 24.06.2012
Autor: abakus


> Vielen Dank an beide Helfer.
>  
> Nur mal nebenbei:
>  gibt es in dem Fall:
>  [mm]15x\equiv25mod35[/mm]
>  kein inverses Element ? Falls doch, habe ich es immer noch
> nicht verstanden.

>
Hallo,
hier kannst du beide Seiten durch 5 teilen, wodurch sich eventuell ein anderes Modul ergibt.
Der ggT von 35 und 5 ist 5, wodurch sich
[mm]3x\equiv5mod\bruch{35}{5}[/mm]
ergibt, also [mm]3x\equiv5mod7[/mm].
Gruß Abakus  


Bezug
                                                
Bezug
Kongruenz zerlegen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:18 So 24.06.2012
Autor: imagemixer

Durch ggT teilen lässt die Gleichung äquivalent zu der vorigen sein oder? Also sind die beiden Kongruenzen äquivalent, auch wenn das eine mod35 das andere mod7 ist.

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Bezug
Kongruenz zerlegen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:22 So 24.06.2012
Autor: imagemixer

Vielen vielen Dank, ein Teil habe ich gut verstanden.
Wie das geht, ist mir aber noch unklar:

>  wie zerlege ich eigentlich eine lineare Kongruenz
> folgender Form:
>  $ [mm] x\equiv [/mm] $ 13c mod 15
>   in seine Primfaktoren,also so, dass ich ein dazu
> äquivalentes System der Form:
>  
> $ [mm] x\equiv [/mm] $  ___ mod 3
>  $ [mm] x\equiv [/mm] $  ___ mod 5
>  erhalte.

Bezug
                        
Bezug
Kongruenz zerlegen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:36 So 24.06.2012
Autor: reverend

Hallo imagemixer,

das ist einfach.

> Vielen vielen Dank, ein Teil habe ich gut verstanden.
>  Wie das geht, ist mir aber noch unklar:
>  >  wie zerlege ich eigentlich eine lineare Kongruenz
>  > folgender Form:

>  >  [mm]x\equiv[/mm] 13c mod 15
>  >   in seine Primfaktoren,also so, dass ich ein dazu
>  > äquivalentes System der Form:

>  >  
> > [mm]x\equiv[/mm]  ___ mod 3
>  >  [mm]x\equiv[/mm]  ___ mod 5
>  >  erhalte.

[mm] x\equiv 13c\mod{15}\quad\Rightarrow\quad x\equiv 13c\mod{3}\quad\Rightarrow\quad x\equiv c\mod{3} [/mm]

[mm] x\equiv 13c\mod{15}\quad\Rightarrow\quad x\equiv 13c\mod{5} \quad\Rightarrow\quad x\equiv 3c\mod{5} [/mm]

Deutlicher ist das vielleicht sogar, bevor Du die 13 als Inverses zu 7 [mm] \mod{15} [/mm] gefunden hast:

[mm] 7x\equiv c\mod{15}\quad\Rightarrow\quad 7x\equiv c\mod{3} \quad\Rightarrow\quad x\equiv (1*)c\mod{3} [/mm]

[mm] 7x\equiv c\mod{15}\quad\Rightarrow\quad 7x\equiv c\mod{5} \quad\Rightarrow\quad 2x\equiv c\mod{5} \quad\Rightarrow\quad x\equiv 3c\mod{5} [/mm]

Hieraus folgt mit chin.Restsatz leicht [mm] x\equiv 13c\mod{15} [/mm]

Grüße
reverend


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