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Kongruenzaussagen: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:27 So 12.01.2014
Autor: Mathilda1

Aufgabe
z=12345789 (letzten 3 Zahlen sind hochgestellt) mal 1999 (1999 noch einmal, bloß hochgestellt) mal 3553 (und 35 hochgestellt)

Was bedeuten z und die hochgestellten Ziffern?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Kongruenzaussagen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:42 So 12.01.2014
Autor: angela.h.b.


> z=12345789 (letzten 3 Zahlen sind hochgestellt) mal 1999
> (1999 noch einmal, bloß hochgestellt) mal 3553 (und 35
> hochgestellt)
>  Was bedeuten z und die hochgestellten Ziffern?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Hallo,

[willkommenmr].

Möchtest Du über [mm] z=123456^{789}*1999^{1999}*3553^{35} [/mm] sprechen?

Da steht: z ist die Zahl, die man bekommt, wenn man [mm] 123456^{789}*1999^{1999}*3553^{35} [/mm]  
rechnet.

Die hochgestellten Zahlen (Potenzen) bedeuten, daß man die jeweilige Zahl so oft mit sich selbst multißliziert.

Z.B. [mm] 5^3=5*5*5=125,\qquad 2^7=2*2*2*2*2*2*2=128. [/mm]

Es ist hier also von einer sehr großen Zahl z die Rede, nämlich

[mm] z=\underbrace{12345*12345*...*12345}_{789-mal}*\underbrace{1999*1999*...*1999}_{1999-mal}*\underbrace{3553*3553*...*3553}_{35-mal}. [/mm]

LG Angela

Bezug
        
Bezug
Kongruenzaussagen: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:04 So 12.01.2014
Autor: Mathilda1

Aufgabe
Ermittle die letzte Ziffer des folgenden Produkts:
z= 123456 hoch789 mal 1999 hoch1999 mal 3553 hoch35

Wie rechnet man Aufgaben mit Zahlen mit unterschiedlicher Basis und Exponent?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Bezug
                
Bezug
Kongruenzaussagen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:28 So 12.01.2014
Autor: abakus


> Ermittle die letzte Ziffer des folgenden Produkts:
> z= 123456 hoch789 mal 1999 hoch1999 mal 3553 hoch35
> Wie rechnet man Aufgaben mit Zahlen mit unterschiedlicher
> Basis und Exponent?

>

> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Hallo Mathilda1,
die Endziffern einer Zahl entspricht ihrem Rest bei Teilung durch 10, z.B. ist
123456:10=12345 Rest 6.
Du musst also den Term  [mm]123456 ^{789}*1999^{1999} * 3553^{35}[/mm] nach dem Modul 10 betrachten.
Das ist nun ein Produkt aus drei Potenzen, und für Produkte gibt es bestimmete Regeln.
Aus [mm]a\equiv b mod(m)[/mm] und   [mm]c\equiv d mod(m)[/mm] folgt  [mm]a*c\equiv b*d mod(m)[/mm].
Auch für Potenzen gibt es Regeln. Aus  [mm]a\equiv b mod(m)[/mm] folgt   [mm]a^n\equiv b^n mod(m)[/mm].
In deinem Fall bedeutet das z. B.
 Aus  [mm]123456\equiv 6 mod(10)[/mm] folgt   [mm]123456^{789}\equiv 6^{789} mod(m)[/mm]. 
Du musst also gar nicht [mm] 123456^{789}[/mm] ausrechnen, um davon den Rest bei Teilung durch 10 zu ermitteln.
Es genügt, ersatzweise von dem Term [mm]6^{789}[/mm] den Rest mod 10 zu ermitteln. Das geht relativ leicht:
 Untersuche den Rest von 6, von 6*6, von 6*6*6 mod 10 und ziehe deine Schlussfolgerungen.

Untersuche dann, welchen Rest 1999 mod 10 lässt und schließe auf den Rest von [mm]1999^{1999}[/mm]. 
Da [mm]3535 \equiv 5 mod(10)[/mm] gilt, kannnst du die Betrachtung von [mm]3535^{35}[/mm] durch die Betrachtung von  [mm]5^{35}[/mm] ersetzen.
Aus den drei Teilaufgaben bekommst du drei Ergebnisse der Form 
 [mm]123456^{789}\equiv 6^{789}\equiv a mod(10)[/mm] 
 [mm]1999^{1999}\equiv 9^{1999}\equiv b mod(10)[/mm] 
 [mm]3535^{35}\equiv 5^{55}\equiv c mod(10)[/mm]  .
Daraus folgt nach der oben genannten Regel für Produkte
 [mm]123456^{789}*1999^{1999} * 3553^{35}\equiv a*b*cmod(10)[/mm].
Gruß Abakus 

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