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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:43 So 27.04.2008 | | Autor: | Tommylee |
| Aufgabe | Es sei m [mm] \in \IN [/mm] ungerade und a1,......,am ganze Zahlen , die paarweise nicht kongruent modulo m sind . Zeigen Sie :
[mm] \summe_{i=1}^{m} [/mm] ai [mm] \equiv [/mm] 0 mod m |
Hallo ,
Ich fange einfach mal an :
Vorraussetzungen :
1) m \ in [mm] \IN [/mm] und m = 2n-1 n [mm] \in \IN
[/mm]
2) [mm] \forall [/mm] i [mm] \not= [/mm] j : ai [mm] \not\equiv [/mm] aj mod m
[mm] \neg [/mm] ( [mm] \exists [/mm] k [mm] \in \IZ [/mm] : ai - aj = k * m )
[mm] \Rightarrow [/mm] ai - aj [mm] \not= [/mm] k * m
zu zeigen : [mm] \summe_{i=1}^{m} [/mm] ai [mm] \equiv [/mm] 0 mod m
Bedingung : [mm] \exists [/mm] k [mm] \in \IZ [/mm] : [mm] \summe_{i=1}^{m} [/mm] ai = k * m
[mm] \Rightarrow \summe_{i=1}^{m} [/mm] ai = k * (2n-1) n [mm] \in \IN
[/mm]
Ansatz : Hallo , für eine wegweisung wäre ich dankbar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:12 So 27.04.2008 | | Autor: | abakus |
> Es sei m [mm]\in \IN[/mm] ungerade und a1,......,am ganze Zahlen ,
> die paarweise nicht kongruent modulo m sind . Zeigen Sie :
>
> [mm]\summe_{i=1}^{m}[/mm] ai [mm]\equiv[/mm] 0 mod m
> Hallo ,
>
> Ich fange einfach mal an :
>
> Vorraussetzungen :
>
> 1) m \ in [mm]\IN[/mm] und m = 2n-1 n [mm]\in \IN[/mm]
>
> 2) [mm]\forall[/mm] i [mm]\not=[/mm] j : ai [mm]\not\equiv[/mm] aj mod m
>
> [mm]\neg[/mm] ( [mm]\exists[/mm] k [mm]\in \IZ[/mm] : ai - aj = k * m )
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] ai - aj [mm]\not=[/mm] k * m
>
> zu zeigen : [mm]\summe_{i=1}^{m}[/mm] ai [mm]\equiv[/mm] 0 mod m
>
> Bedingung : [mm]\exists[/mm] k [mm]\in \IZ[/mm] : [mm]\summe_{i=1}^{m}[/mm] ai =
> k * m
>
> [mm]\Rightarrow \summe_{i=1}^{m}[/mm] ai = k * (2n-1) n
> [mm]\in \IN[/mm]
>
> Ansatz : Hallo , für eine wegweisung wäre ich dankbar
Hallo, wenn diese m Zahlen paarweise nicht kongruent mod m sind, kommt auch jeder der m verschiedenen Reste 0, 1, 2 ..., m-1 bei Teilung durch m genau einmal vor. Du musst also nur die Summe all dieser Reste bilden und zeigen, dass sie durch m teilbar ist.
Viele Grüße
Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:54 So 27.04.2008 | | Autor: | Tommylee |
Hallo,
das habe ich vestranden . Danke
Die Summe der Reste wäre ja :
[mm] \summe_{r=0}^{m-1} [/mm] r
also:
[mm] \summe_{r=0}^{m-1} [/mm] r = m * k
m ist ungerade , also m = 2n - 1 n [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] \summe_{r=0}^{2n-2} [/mm] r = (2n - 1 ) * k
könnte ich noch einen tip haben wies weitergeht ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:15 Mo 28.04.2008 | | Autor: | Zaed |
Hallo,
es gilt doch: [mm] \summe_{r=0}^{m-1}r = \bruch{m(m-1)}{2} [/mm]
Wieso ist diese Zahl durch m teilbar? (schau nochmal in deine Vorraussetzungen)
Damit gilt dann: [mm] \summe_{r=0}^{m-1}r = \summe_{i=1}^{m}a_i \equiv 0 \mbox{ (mod m) } [/mm]
Gruß, Zaed
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