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Hallo,
ich muss zeigen, dass die Elemente a=(12)(34), b=(13)(24), c=(14)(23) konjugiert zueinander sind. Da "konjugiert zueinander" eine Äquivalenzrelation darstellt, reicht es ja zu zeigen, dass gilt: [mm] b=sas^{-1} [/mm] und [mm] c=rar^{-1}, [/mm] r,s [mm] \in S_4.
[/mm]
So, nun weiss ich aber nicht genau wie ich diese konjugierenden Elemente finden soll... so habe ich bisher angefangen:
Aus [mm] b=sas^{-1} [/mm] folgt dann:
(13)(24)=s [mm] \cdot [/mm] (12)(34) [mm] \cdot s^{-1} [/mm] = (s(1) s(2)) (s(3) s(4))
Ab hier weiss ich nicht, wie ich s(1) etc. bestimmen soll :s
Hoffe jemand kann mir helfen!
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> Hallo,
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> ich muss zeigen, dass die Elemente a=(12)(34), b=(13)(24),
> c=(14)(23) konjugiert zueinander sind. Da "konjugiert
> zueinander" eine Äquivalenzrelation darstellt, reicht es
> ja zu zeigen, dass gilt: [mm]b=sas^{-1}[/mm] und [mm]c=rar^{-1},[/mm] r,s [mm]\in S_4.[/mm]
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> So, nun weiss ich aber nicht genau wie ich diese
> konjugierenden Elemente finden soll... so habe ich bisher
> angefangen:
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> Aus [mm]b=sas^{-1}[/mm] folgt dann:
> (13)(24)=s [mm]\cdot[/mm] (12)(34) [mm]\cdot s^{-1}[/mm] = (s(1) s(2)) (s(3)
> s(4))
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> Ab hier weiss ich nicht, wie ich s(1) etc. bestimmen soll
> :s
>
> Hoffe jemand kann mir helfen!
Hallo Madde-Freund,
schau dir an, was diese Permutationen machen:
a vertauscht 1 mit 2 sowie 3 mit 4.
b vertauscht 1 mit 3 sowie 2 und 4.
Nun könnte man doch aus a durch eine Substi-
tution die Permutation b erzeugen. Man vertausche
nur die Elemente 2 und 3. Es müsste also wohl
einfach s=(23) gelten. Dann ist natürlich auch [mm] s^{-1}=(23)=s [/mm] .
Probe:
$\ [mm] s*a*s^{-1}\ [/mm] =\ (23)*(12)(34)*(23)\ =\ (13)(24)\ =\ [mm] b\qquad\red{\checkmark}$
[/mm]
LG Al-Chw.
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Konjugierende Elemente sind idR nicht eindeutig, stimmts? Gibt s ein besonderes Standardverfahren dafür, weil wenn man jetzt größere Zykel hätte, stelle ich es mir schwierig vor es mehr oder weniger zu sehen.
Im anderen Fall müsste das konj. Element dann r=(243) lauten? Mal testen...
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> Konjugierende Elemente sind idR nicht eindeutig, stimmts?
Ja. Die Äquivalenz von a und b könnte man auch mit s=(14)
zeigen.
> Gibt s ein besonderes Standardverfahren dafür,
Das weiß ich nicht.
> weil wenn
> man jetzt größere Zykel hätte, stelle ich es mir
> schwierig vor es mehr oder weniger zu sehen.
Zwei Permutationen können nur dann äquivalent
sein, wenn sie bezüglich ihrer Zyklenstruktur
isomorph sind. Bei einer "Substitution", wie ich sie
vorgeschlagen habe, müssen gleich lange Zyklen
einander paarweise gegenüber gestellt werden.
Dies kann oft auf mehr als eine Art gemacht
werden.
LG Al-Chw.
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Ok, Danke. Denke jetzt ist es mir klar geworden!
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Noch ein Beispiel:
$ \ p=(1)(23)(45)(678) $
$ \ \ q=(12)(345)(6)(78) $
Zuerst kann man 1 und 6 vertauschen (weil die
"Single-Zyklen" aufeinander abgebildet werden
müssen) und wandelt z.B. p um zu $ [mm] p_1=s\cdot{}p\cdot{}s^{-1} [/mm] $ mit
$ s=(16) $ :
$ \ [mm] p_1=(178)(23)(45)(6) [/mm] $
Von jetzt an können wir die 6 aus dem Spiel lassen
und $ [mm] p_1 [/mm] $ und q gegenüberstellen, wobei wir gleich
lange Zyklen vergleichen:
$ \ [mm] p_1=(178)(23)(45) [/mm] $
$ \ q\ =(345)(12)(78) $
Wenn wir (12) in q durch (21) ersetzen (ist ja derselbe
Zyklus !), sieht es so aus:
$ \ [mm] p_1=(178)(23)(45) [/mm] $
$ \ q\ =(345)(21)(78) $
und man kann sehen, dass es genügen würde, die
Vertauschungen (47), (58) und (13) vorzunehmen,
um aus der einen Permutation die andere zu machen.
Insgesamt kommen wir so zum konjugierenden
Element s=(47)(58)(13)(16) , welches man auch
so schreiben kann:
$ \ s=(47)(58)(163) $
$ \ [mm] s^{-1}=(47)(58)(136) [/mm] $
Man kann nun verifizieren, dass $\ [mm] s*p*s^{-1}\ [/mm] =\ q$
LG Al-Chw.
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