Konjugierte Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei $V = [mm] P_{1}(\IR)$ [/mm] mit dem Skalarprodukt
[mm] $\integral_{-1}^{1}{f(t)g(t) dt}$.
[/mm]
Weiterhin ist $Tf=f'+3f$. Bestimme [mm] $T^\*f$ [/mm] - die konjugierte Abbildung zu $T$ -, wenn $f(t) = 4-2t$. |
Hallo,
zunächst einmal schreibe ich die Abbildung anders:
$T(a+bt)=b+3(a+bt)=(3a+b)+3bt$
für $a, b [mm] \in \IR$.
[/mm]
Um [mm] $T^\*f$ [/mm] zu finden, kann man sich die Eigenschaft
$<g, [mm] T^\*f> [/mm] = <Tg, f>$
für $f,g [mm] \in [/mm] V $ zunutze machen, wobei $ g(t) = (a+bt) $ und $f(t)=(4-2t)$. Also:
[mm] $<(a+bt),T^\*(4-2t)> [/mm] = <T(a+bt),(4-2t)> = <((3a+b)+3bt),(4-2t)> = [mm] \integral_{-1}^{1}{((3a+b)+3bt)(4-2t)dt} [/mm] = [mm] \integral_{-1}^{1}{-6at+12a-6bt^2+10bt+4b)dt}$
[/mm]
$= [mm] -6b\integral_{-1}^{1}{t^2 dt}+(10b-6a)\integral_{-1}^{1}{t dt} +(12a+4b)\integral_{-1}^{1}{dt} [/mm] = 24a+4b$
Also ist [mm] $T^\*(4-2t) [/mm] = 24+4t$.
Habe ich hierbei Fehler gemacht?
Liebe Grüße.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:20 Do 12.03.2015 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]V = P_{1}(\IR)[/mm] mit dem Skalarprodukt
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> [mm]\integral_{-1}^{1}{f(t)g(t) dt}[/mm].
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> Weiterhin ist [mm]Tf=f'+3f[/mm]. Bestimme [mm]T^\*f[/mm] - die konjugierte
> Abbildung zu [mm]T[/mm] -, wenn [mm]f(t) = 4-2t[/mm].
> Hallo,
>
> zunächst einmal schreibe ich die Abbildung anders:
>
> [mm]T(a+bt)=b+3(a+bt)=(3a+b)+3bt[/mm]
>
> für [mm]a, b \in \IR[/mm].
>
> Um [mm]T^\*f[/mm] zu finden, kann man sich die Eigenschaft
>
> [mm] = [/mm]
>
> für [mm]f,g \in V[/mm] zunutze machen, wobei [mm]g(t) = (a+bt)[/mm] und
> [mm]f(t)=(4-2t)[/mm]. Also:
>
> [mm]<(a+bt),T^\*(4-2t)> = = <((3a+b)+3bt),(4-2t)> = \integral_{-1}^{1}{((3a+b)+3bt)(4-2t)dt} = \integral_{-1}^{1}{-6at+12a-6bt^2+10bt+4b)dt}[/mm]
>
> [mm]= -6b\integral_{-1}^{1}{t^2 dt}+(10b-6a)\integral_{-1}^{1}{t dt} +(12a+4b)\integral_{-1}^{1}{dt} = 24a+4b[/mm]
>
> Also ist [mm]T^\*(4-2t) = 24+4t[/mm].
??? Wieso ??
Wenn das richtig wäre, so hätten wir
$24=<3, [mm] 4-2t>==<1,T^\*(4-2t)>=<1,24+4t>=48$
[/mm]
>
> Habe ich hierbei Fehler gemacht?
Deine Rechnung oben ist O.K. Aber wie kommst Du auf Deine Schlußfolgerung ?
Mach es doch so:
Bestimme die Abbildungsmatrix A von T bezüglich der Basis [mm] \{1,t\}
[/mm]
Die zu [mm] $T^\*$ [/mm] gehörende Abb. - Matrix ist dann [mm] A^T. [/mm] Berechne dann
[mm] \vektor{u \\ v}:=A^T*\vektor{4 \\ -2}
[/mm]
Dann ist
$ T^*(4-2t) = u+vt $
FRED
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> Liebe Grüße.
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Hallo,
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> > Also ist [mm]T^\*(4-2t) = 24+4t[/mm].
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> ??? Wieso ??
Hierin war ich mir nicht so sicher, darum hab ich es auch gepostet. Ich mach es mal mit der Matrixmethode, aber vielleicht könntest du kurz erklären, wie man die Methode, die ich angewendet habe, ausführt (damit ich das auch verstehe).
Also, wenn wir die Basis $B = (1, t)$ für $V$ nehmen und die Matrix [mm] $[T]_B$ [/mm] berechnen, erhalten wir:
$T(1) = 3 = 3(1)+0(t)$
$T(t) = 1+3t = 1(1)+3(t)$
und damit
[mm] $[T]_B [/mm] = [mm] \pmat{3&1\\0&3}$
[/mm]
Da [mm] $[T]_B^{\*} [/mm] = [mm] [T^\*]_B$ [/mm] gilt, ist
[mm] $[T^\*]_B [/mm] = [mm] \pmat{3&0\\1&3}$.
[/mm]
Jetzt berechnen wir:
[mm] $[T^\*]_B*\vektor{4\\-2} [/mm] = [mm] \vektor{12\\-2}$
[/mm]
Also ist $T(4-2t)=12-2t=2(6-t)$. So?
Liebe Grüße.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:39 Do 12.03.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> > >
> > > Also ist [mm]T^\*(4-2t) = 24+4t[/mm].
> >
> >
> > ??? Wieso ??
>
> Hierin war ich mir nicht so sicher, darum hab ich es auch
> gepostet. Ich mach es mal mit der Matrixmethode, aber
> vielleicht könntest du kurz erklären, wie man die
> Methode, die ich angewendet habe, ausführt (damit ich das
> auch verstehe).
>
> Also, wenn wir die Basis [mm]B = (1, t)[/mm] für [mm]V[/mm] nehmen und die
> Matrix [mm][T]_B[/mm] berechnen, erhalten wir:
>
> [mm]T(1) = 3 = 3(1)+0(t)[/mm]
> [mm]T(t) = 1+3t = 1(1)+3(t)[/mm]
>
> und damit
>
> [mm][T]_B = \pmat{3&1\\0&3}[/mm]
>
> Da [mm][T]_B^{\*} = [T^\*]_B[/mm] gilt, ist
>
> [mm][T^\*]_B = \pmat{3&0\\1&3}[/mm].
>
> Jetzt berechnen wir:
>
> [mm][T^\*]_B*\vektor{4\\-2} = \vektor{12\\-2}[/mm]
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> Also ist [mm]T(4-2t)=12-2t=2(6-t)[/mm]. So?
Ja, wenn Du schreibst
[mm]T^\*(4-2t)=12-2t=2(6-t)[/mm]
Zu Deiner Methode:
Ansatz: [mm] T^\*(4-2t)=ct+d
[/mm]
Dann:
[mm] ===<3a+b+3bt,4-2t>,
[/mm]
also muss gelten:
(*) <a+bt,d+ct>=<3a+b+3bt,4-2t> für alle a,b [mm] \in \IR.
[/mm]
Wähle in (*) einmal a=1 und b=0 und dann a=0 und b=1, so bekommst Du ein LGS für c und d.
FRED
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> Liebe Grüße.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:43 So 15.03.2015 | | Autor: | MeMeansMe |
Ok, super, das hat geholfen. Danke sehr :)
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